Mostre que a equação 2^(x-1) = x possui duas soluções x1, x2 em R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação tem duas soluções reais, ou seja, dois valores de que satisfazem essa igualdade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e técnicas de análise gráfica para identificar onde essas funções se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise. Podemos definir uma função que representa a diferença entre os dois lados da equação:
Nosso objetivo é encontrar os valores de onde , pois isso corresponde às soluções da equação original.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função . Sabemos que é uma função exponencial crescente, enquanto é uma função linear crescente. Para encontrar onde elas se igualam, precisamos ver onde a função exponencial cruza a função linear.

Passo 4

Vamos observar os limites da função :
  • Quando tende ao , tende a 0 e tende a , então tende a .
  • Quando tende ao , cresce muito mais rápido que , então tende a .
Isso sugere que haverá pontos onde cruza o eixo .

Passo 5

Vamos calcular alguns valores de para identificar possíveis pontos de cruzamento:
  • Para :
    Então, é uma solução.
  • Para :
    Então, também é uma solução.

Passo 6

Além disso, vamos verificar se há mais soluções entre esses valores:
  • Para :
  • Para :
Isso mostra que a função muda de positiva para negativa entre e , indicando que há uma solução nessa região.

Passo 7

Como já encontramos duas soluções distintas ( e ) e analisamos o comportamento da função para confirmar que não há mais cruzamentos, concluímos que a equação possui exatamente duas soluções reais.

Resposta

Portanto, a equação tem duas soluções reais: e .

Exercícios relacionados