Mostre que a equação
possui duas soluções
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação
tem duas soluções reais, ou seja, dois valores de
que satisfazem essa igualdade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e técnicas de análise gráfica para identificar onde essas funções se cruzam.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise. Podemos definir uma função
que representa a diferença entre os dois lados da equação:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
onde
, pois isso corresponde às soluções da equação original.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função
. Sabemos que
é uma função exponencial crescente, enquanto
é uma função linear crescente. Para encontrar onde elas se igualam, precisamos ver onde a função exponencial cruza a função linear.
Passo 4
Vamos observar os limites da função
:
- Quando
tende ao , tende a 0 e tende a , então tende a . - Quando
tende ao , cresce muito mais rápido que , então tende a .
Isso sugere que haverá pontos onde
cruza o eixo
.
Passo 5
Vamos calcular alguns valores de
para identificar possíveis pontos de cruzamento:
-
Para
: Então,é uma solução. -
Para
: Então,também é uma solução.
Passo 6
Além disso, vamos verificar se há mais soluções entre esses valores:
-
Para
: -
Para
:
Isso mostra que a função
muda de positiva para negativa entre
e
, indicando que há uma solução nessa região.
Passo 7
Como já encontramos duas soluções distintas (
e
) e analisamos o comportamento da função para confirmar que não há mais cruzamentos, concluímos que a equação
possui exatamente duas soluções reais.
Resposta
Portanto, a equação
tem duas soluções reais:
e
.