lim x 1 raizx-1raiz[4]x-1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 1 na expressão . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e aplicar a Regra de L’Hospital, que é útil quando encontramos uma forma indeterminada como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando raiz1 - 1 = 0 se aproxima de 1:
raiz[4]1 - 1 = 0
Então, temos a forma , que é indeterminada. Nesses casos, a Regra de L’Hospital nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador ddx raizx = 12raizx :
ddx raiz[4]x = 14 x^-3/4 = 14 raiz[4]x^3
Derivada do denominador :

Passo 4

Agora aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas:
lim x 1 12raizx14 x^-3/4 = lim x 1 12raizx cdot 4 raiz[4]x^31 = lim x 1 4 raiz[4]x^32raizx
Simplificando:
lim x 1 2 raiz[4]x^3raizx
Substituindo 2 raiz[4]1^3raiz1 = 2 cdot 11 = 2 :

Resposta

O limite é igual a 2.

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