Determine a forma polar para z w, z / w e 1 / z colocando primeiro z e w na forma polar com argumento entre 0 e 2 pi.
(b) z = raiz(3) + i, w = 1 + raiz(3) * i

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de números complexos! A gente precisa transformar os números e para a forma polar. Depois, com essas formas, vamos calcular , e . Para isso, vamos precisar entender como converter um número complexo da forma retangular para a forma polar, e como operar com eles nessa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar e na forma polar. A forma polar de um número complexo é , onde é o módulo e é o argumento.
Para :
  • O módulo é .
  • O argumento é .
Então, na forma polar é .
Para :
  • O módulo é .
  • O argumento é .
Então, na forma polar é .

Passo 3

Agora que temos e na forma polar, vamos calcular .
Na forma polar, para multiplicar dois números complexos, multiplicamos os módulos e somamos os argumentos:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos calcular .
Na forma polar, para dividir dois números complexos, dividimos os módulos e subtraímos os argumentos:
Substituindo os valores:
Como o argumento deve estar entre 0 e , podemos ajustar:
Então:

Passo 5

Por fim, vamos calcular .
Na forma polar, o inverso de um número complexo é dado por:
Substituindo os valores:
Ajustando o argumento para o intervalo de a :
Então:

Resposta

As formas polares são:

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