(2)Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
-© Se lim x 0 f(x) e lim x 0 g(x) não existem, então lim x 0[f(x)+g(x)] não existe.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente verificar se uma afirmação sobre limites é verdadeira ou falsa. A matéria aqui é Cálculo de Limites. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites e pensar em exemplos que ilustrem a situação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a afirmação: “Se lim x 0 f(x) e lim x 0 g(x) não existem, então lim x 0[f(x)+g(x)] não existe.”

Passo 3

Agora, vamos pensar no que significa o limite de uma função não existir. Isso pode acontecer se a função oscilar sem parar perto do ponto ou se tender para infinito. Mas será que a soma de duas funções que não têm limite também não tem limite? Vamos ver.

Passo 4

Vamos pegar um exemplo simples. Imagine que temos duas funções:
  • f(x) = dfrac1x
  • g(x) = -dfrac1x

Passo 5

Vamos verificar os limites quando x se aproxima de 0:
  • lim x 0 f(x) = lim x 0 dfrac1x não existe, pois tende para infinito positivo ou negativo dependendo de como x se aproxima.
  • lim x 0 g(x) = lim x 0 -dfrac1x também não existe, pois tende para infinito negativo ou positivo.

Passo 6

Agora, somando as duas funções:
f(x) + g(x) = dfrac1x - dfrac1x = 0

Passo 7

O limite da soma:
lim x 0 [f(x) + g(x)] = lim x 0 0 = 0
Ou seja, mesmo que os limites individuais de f(x) e g(x) não existam, a soma deles tem um limite bem definido.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, se f(x) = dfrac1x e g(x) = -dfrac1x, os limites individuais de f(x) e g(x) quando x tende a 0 não existem, mas lim x 0[f(x)+g(x)] = 0 existe.

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