)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Esse problema está na área de Cálculo, especificamente em limites envolvendo funções trigonométricas e comportamento de funções perto de certos pontos. Vamos precisar entender como a função seno se comporta e como os termos
e
interagem quando
se aproxima de 0 pela esquerda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função seno, , sempre oscila entre -1 e 1, ou seja:
Isso significa que, independente do valor de
, o seno nunca vai ultrapassar esses limites.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por
. Como
é sempre positivo (porque é um quadrado), a desigualdade mantém a direção:
Isso nos dá uma “faixa” para o valor de .
Passo 4
Vamos agora analisar o comportamento dos limites das extremidades quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
):
Ambos os limites são 0, pois
tende a 0 quando
se aproxima de 0.
Passo 5
Com base no Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Compressão), se uma função está “encostrada” entre duas funções que têm o mesmo limite em um ponto, então ela também tem esse limite. No nosso caso:
E como os limites das extremidades são iguais a 0, o limite da função do meio também será 0.
Resposta
Portanto,