lim x 0-x 2 sen(1 / x 2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
Esse problema está na área de Cálculo, especificamente em limites envolvendo funções trigonométricas e comportamento de funções perto de certos pontos. Vamos precisar entender como a função seno se comporta e como os termos limlimitsx 0^- x^2 cdot sen(1x) e interagem quando se aproxima de 0 pela esquerda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno, , sempre oscila entre -1 e 1, ou seja:
Isso significa que, independente do valor de -1 <= sen(1x) <= 1 , o seno nunca vai ultrapassar esses limites.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por - x^2 <= x^2 cdot sen(1x) <= x^2 . Como é sempre positivo (porque é um quadrado), a desigualdade mantém a direção:
Isso nos dá uma “faixa” para o valor de .

Passo 4

Vamos agora analisar o comportamento dos limites das extremidades quando limlimitsx 0^- (-x^2) = 0 e limlimitsx 0^- x^2 = 0 se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Ambos os limites são 0, pois tende a 0 quando se aproxima de 0.

Passo 5

Com base no Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Compressão), se uma função está “encostrada” entre duas funções que têm o mesmo limite em um ponto, então ela também tem esse limite. No nosso caso:
E como os limites das extremidades são iguais a 0, o limite da função do meio também será 0.

Resposta

Portanto,

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