lim x 0 ln (1+sin (x))x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, especificamente usando propriedades de funções logarítmicas e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam as funções e perto de zero, além de aplicar a regra de L’Hôpital para limites que resultam em uma forma indeterminada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando se aproxima de 0. Sabemos que pode ser aproximada por quando é bem pequeno. Então, .

Passo 3

Agora, substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
ln(1 + sin(x)) approx ln(1 + x)
E sabemos que ln(1 + x) approx x pode ser aproximado por quando é próximo de 0. Então:

Passo 4

Substituindo essas aproximações na expressão original do limite, ficamos com:
lim x 0 ln (1+sin (x))x approx lim x 0 xx

Passo 5

Simplificando a fração , obtemos 1. Portanto, o limite se aproxima de 1 quando se aproxima de 0.

Resposta

O limite é igual a 1.

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