Faça as mudanças de variável e na EDO para obter o sistema associado .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para transformar uma equação diferencial de terceira ordem em um sistema de equações de primeira ordem usando certas substituições de variável. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar entender como mudar de uma EDO de ordem superior para um sistema de equações de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as novas variáveis conforme o enunciado:
(a derivada de em relação a )
(a segunda derivada de em relação a )
Essas substituições vão nos ajudar a reescrever a EDO de terceira ordem como um sistema de equações de primeira ordem.
Passo 3
Sabemos que:
A derivada de em relação a é
A derivada de em relação a é
Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de ou .
Passo 4
Dada a EDO original:
Podemos resolver para :
Substituindo as nossas variáveis:
Passo 5
Agora, podemos montar o sistema de equações de primeira ordem:
Isso pode ser representado na forma matricial , onde e é a matriz dos coeficientes.