Faça as mudanças de variável x1=y, x2=y' e x3 = y'' na EDO y'''(t) - 6 y''(t) + 11 y'(t) - 6 y(t) = 0 para obter o sistema associado X' = A X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para transformar uma equação diferencial de terceira ordem em um sistema de equações de primeira ordem usando certas substituições de variável. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar entender como mudar de uma EDO de ordem superior para um sistema de equações de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as novas variáveis conforme o enunciado:
  • (a derivada de em relação a )
  • (a segunda derivada de em relação a )
Essas substituições vão nos ajudar a reescrever a EDO de terceira ordem como um sistema de equações de primeira ordem.

Passo 3

Sabemos que:
  • A derivada de em relação a é
  • A derivada de em relação a é
Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de ou .

Passo 4

Dada a EDO original:
Podemos resolver para :
Substituindo as nossas variáveis:

Passo 5

Agora, podemos montar o sistema de equações de primeira ordem:
Isso pode ser representado na forma matricial , onde e é a matriz dos coeficientes.

Resposta

O sistema associado é:

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