lim x 2 v x+2-v 2 x x 2-2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite aí juntos! O enunciado pede para calcularmos:
limx 2 raizx + 2 - raiz2xx^2 - 2x
Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente no estudo de limites. Vamos precisar entender como simplificar expressões que dão uma forma indeterminada, nesse caso , usando a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz2 + 2 - raiz2 times 2 = raiz4 - raiz4 = 2 - 2 = 0 na expressão. Calculando o numerador:
2^2 - 2 times 2 = 4 - 4 = 0
E no denominador:
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital para resolver o limite.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se temos um limite da forma ddx ( raizx + 2 ) = 12raizx + 2 ou ddx ( raiz2x ) = 22raiz2x = 1raiz2x , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite das derivadas. Vamos fazer isso.
Primeiro, derivamos o numerador 12raizx + 2 - 1raiz2x :
ddx ( x^2 - 2x ) = 2x - 2
Então, a derivada do numerador é:
Agora, derivamos o denominador :

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
limx 2 12raizx + 2 - 1raiz2x2x - 2
Vamos substituir 12raiz2 + 2 - 1raiz2 times 2 = 12 times 2 - 12 = 14 - 12 = -14 nessa nova expressão:
Calculando o numerador:
2 times 2 - 2 = 4 - 2 = 2
E o denominador:

Resposta

Portanto, o limite é:
-14 div 2 = -18

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