A função maior inteiro é dada por
. Por exemplo,
. Esboce o gráfico de
e mostre que
não existe, quando
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função maior inteiro, representada por
, que basicamente pega qualquer número real
e retorna o maior número inteiro que é menor ou igual a
. Por exemplo,
, porque
é aproximadamente 1,414, e o maior inteiro menor ou igual a isso é 1.
Para resolver esse exercício, vamos precisar entender o que é a função maior inteiro, como ela se comporta no gráfico e como os limites funcionam, especialmente quando nos aproximamos de um número inteiro
.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função
. Essa função é conhecida como função degrau ou função piso, e seu gráfico é composto por segmentos horizontais que “saltam” em cada número inteiro.
Para cada intervalo
, onde
é um número inteiro, o valor de
é constante e igual a
. Por exemplo:
- Para
entre 0 e 1 (não incluindo 1), . - Para
entre 1 e 2 (não incluindo 2), . - E assim por diante.
No gráfico, isso fica visualmente como uma série de linhas horizontais que começam em cada número inteiro e terminam logo antes do próximo número inteiro, formando “degraus”.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que o limite
não existe quando
é um número inteiro.
Para entender por que o limite não existe nesses pontos, precisamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de
pela esquerda (
) e pela direita (
).
-
Quando
se aproxima de pela esquerda ( ): -
está em um intervalo abaixo de , ou seja, está entre e . - Portanto,
.
-
-
Quando
se aproxima de pela direita ( ): -
está em um intervalo acima de , ou seja, está entre e . - Portanto,
.
-
Como os limites pela esquerda e pela direita resultam em valores diferentes (
e
respectivamente), podemos concluir que o limite geral
não existe para
inteiro.
Resposta
A função maior inteiro
tem um gráfico em forma de degraus, onde cada degrau corresponde a um intervalo entre números inteiros. Além disso, para qualquer número inteiro
, o limite
não existe porque os limites pela esquerda e pela direita de
são diferentes.