A função maior inteiro é dada por f(x) doteq[[x]]=max n in Z ; n <= x. Por exemplo, [[raiz2]]=1. Esboce o gráfico de f e mostre que lim x p f(x) não existe, quando p in Z.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função maior inteiro, representada por , que basicamente pega qualquer número real e retorna o maior número inteiro que é menor ou igual a . Por exemplo, , porque é aproximadamente 1,414, e o maior inteiro menor ou igual a isso é 1.
Para resolver esse exercício, vamos precisar entender o que é a função maior inteiro, como ela se comporta no gráfico e como os limites funcionam, especialmente quando nos aproximamos de um número inteiro .

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função . Essa função é conhecida como função degrau ou função piso, e seu gráfico é composto por segmentos horizontais que “saltam” em cada número inteiro.
Para cada intervalo , onde é um número inteiro, o valor de é constante e igual a . Por exemplo:
  • Para entre 0 e 1 (não incluindo 1), .
  • Para entre 1 e 2 (não incluindo 2), .
  • E assim por diante.
No gráfico, isso fica visualmente como uma série de linhas horizontais que começam em cada número inteiro e terminam logo antes do próximo número inteiro, formando “degraus”.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que o limite não existe quando é um número inteiro.
Para entender por que o limite não existe nesses pontos, precisamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
  • Quando se aproxima de pela esquerda ( ):
    • está em um intervalo abaixo de , ou seja, está entre e .
    • Portanto, .
  • Quando se aproxima de pela direita ( ):
    • está em um intervalo acima de , ou seja, está entre e .
    • Portanto, .
Como os limites pela esquerda e pela direita resultam em valores diferentes ( e respectivamente), podemos concluir que o limite geral não existe para inteiro.

Resposta

A função maior inteiro tem um gráfico em forma de degraus, onde cada degrau corresponde a um intervalo entre números inteiros. Além disso, para qualquer número inteiro , o limite não existe porque os limites pela esquerda e pela direita de são diferentes.

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