Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos provar que existe um número positivo, chamado δ, tal que se a variável estiver dentro do intervalo , então a expressão ficará entre e . Isso envolve conceitos de limites e continuidade das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que estamos analisando: . Nosso objetivo é mostrar que, perto de , essa função está próxima de 2, ou seja, . Isso sugere que a função é contínua em .
Passo 3
Como a função é polinomial no numerador e denominador, ela é contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero. Já que nunca é zero para números reais, é contínua em .
Passo 4
Por continuidade, sabemos que para , existe um δ > 0 tal que se , então . Isso exatamente traduz a condição que precisamos provar: .
Passo 5
Para encontrar um δ específico, vamos resolver a desigualdade :
Simplificando a expressão dentro do valor absoluto:
Passo 6
Para garantir que essa desigualdade seja satisfeita, precisamos limitar a um intervalo onde o numerador seja suficientemente pequeno em relação ao denominador. Podemos escolher δ pequeno o suficiente, por exemplo, δ = 0.1, e verificar se a condição é atendida.