Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado da questão é:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar manipular as expressões algébricas e usar algumas propriedades de limites e radiciação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada do segundo termo:
Isso simplifica a segunda parte da expressão para:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a raiz quadrada:
Então, a expressão original fica:
Passo 4
Vamos agora analisar o comportamento da expressão quando se aproxima de 2. Substituindo :
Numerador:
Denominador:
Segundo fator:
Percebemos que temos uma forma indeterminada , o que sugere que o limite tende ao infinito. Mas vamos confirmar isso com uma análise mais detalhada.
Passo 5
Para entender melhor o comportamento do denominador quando se aproxima de 2, vamos expandir em torno de :
Assim, o denominador fica:
Passo 6
Substituindo essa aproximação na expressão do limite:
x + 223(x - 2) times (x^2 + 8)^1/4
Simplificando:
3(x + 2)2(x - 2) times (x^2 + 8)^1/4
Agora, analisando o comportamento quando se aproxima de 2:
tende a 4
tende a 0
tende a
Passo 7
Portanto, o limite se comporta como:
3 times 42 times 0 times (12)^1/4
O denominador está tendendo a 0, e como o numerador é positivo, o limite tende ao .