lim x 2 x+2raizx^2+5-3 times raizx^2+5+3raizx^2+5+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado da questão é:
limx 2 x + 2raizx^2+5 - 3 times raizx^2+5+3raizx^2+5+3
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar manipular as expressões algébricas e usar algumas propriedades de limites e radiciação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada do segundo termo:
x^2 + 5 + 3raizx^2 + 5 + 3 = x^2 + 8raizx^2 + 8
Isso simplifica a segunda parte da expressão para:
raizx^2 + 8raizx^2 + 8

Passo 3

Agora, vamos simplificar a raiz quadrada:
raizx^2 + 8raizx^2 + 8 = raizx^2 + 8(raizx^2 + 8)^1/2 = (x^2 + 8)^1/2 div (x^2 + 8)^1/4 = (x^2 + 8)^1/4
Então, a expressão original fica:
x + 2raizx^2+5 - 3 times (x^2 + 8)^1/4

Passo 4

Vamos agora analisar o comportamento da expressão quando se aproxima de 2. Substituindo :
  • Numerador:
  • Denominador:
  • Segundo fator:
Percebemos que temos uma forma indeterminada , o que sugere que o limite tende ao infinito. Mas vamos confirmar isso com uma análise mais detalhada.

Passo 5

Para entender melhor o comportamento do denominador quando raizx^2 + 5 approx raiz4 + 5 + (x - 2)(2x)2raizx^2 + 5 g|x=2 = 3 + (x - 2)(4)6 = 3 + 23(x - 2) se aproxima de 2, vamos expandir raizx^2 + 5 - 3 approx 23(x - 2) em torno de :
Assim, o denominador fica:

Passo 6

Substituindo essa aproximação na expressão do limite:
x + 223(x - 2) times (x^2 + 8)^1/4
Simplificando:
3(x + 2)2(x - 2) times (x^2 + 8)^1/4
Agora, analisando o comportamento quando se aproxima de 2:
  • tende a 4
  • tende a 0
  • tende a

Passo 7

Portanto, o limite se comporta como:
3 times 42 times 0 times (12)^1/4
O denominador está tendendo a 0, e como o numerador é positivo, o limite tende ao .

Resposta

O limite é .

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