lim x 0^+(e^x+x)^ln x

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0^+(e^x+x)^ln x. Esse exercício pertence ao conteúdo de Limites envolvendo funções exponenciais e logaritmos. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões indeterminadas e aplicar propriedades de logaritmos.

Passo 2

Ao analisar o limite, percebemos que conforme x se aproxima de 0 por valores positivos:
  • e^x + x se aproxima de 1 + 0 = 1.
  • ln x tende a -infty.
Portanto, a expressão (e^x+x)^ln x assume a forma indeterminada 1^-infty.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, vamos aplicar o logaritmo natural na expressão:
ln L = limx to 0^+ ln( (e^x + x)^ln x ) = limx to 0^+ ln x cdot ln(e^x + x)

Passo 4

Vamos simplificar ln(e^x + x). Sabemos que para x próximo de 0, podemos aproximar e^x approx 1 + x. Assim:
e^x + x approx 1 + x + x = 1 + 2x
Portanto:
ln(e^x + x) approx ln(1 + 2x) approx 2x (usando a aproximação ln(1 + y) approx y) çã
Substituindo na expressão de ln L:
ln L approx limx to 0^+ ln x cdot 2x
Sabemos que limx to 0^+ x ln x = 0. Portanto:
ln L = 0

Resposta

O limite é 1.

Exercícios relacionados