lim (x, y) (1,1)(x^2 y^3-x^3 y^2x^2-y^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite da função quando se aproxima de . Para fazer isso, vamos precisar simplificar a expressão e usar propriedades de limites.

Passo 2

Observamos que tanto o numerador quanto o denominador se anulam quando , resultando em uma forma indeterminada . Isso indica que podemos simplificar a expressão fatorando o numerador e o denominador para cancelar termos comuns.

Passo 3

Vamos começar fatorando o denominador x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) , que é uma diferença de quadrados:

Passo 4

Agora, no numerador x^2 y^3 - x^3 y^2 = x^2 y^2(y - x) , podemos fatorar :

Passo 5

Substituindo as fatorações no limite, temos:
lim (x, y) (1,1)(x^2 y^2(y - x)(x - y)(x + y))

Passo 6

Rearranjando x^2 y^2 (-1)(x - y)(x - y)(x + y) = -x^2 y^2x + y como , a expressão fica:

Passo 7

Agora, podemos cancelar no numerador e no denominador, já que estamos considerando o limite e não será igual a .

Passo 8

Com a expressão simplificada, substituímos -1^2 cdot 1^21 + 1 = -12 e :

Resposta

lim (x, y) (1,1)(x^2 y^3-x^3 y^2x^2-y^2) = -12

Exercícios relacionados