Faça os seguintes itens:
b) Prove que, para todo X ⊆ R, R = Int(X) ∪ Int(R - X) ∪ fr(X).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, para qualquer conjunto de números reais, o conjunto dos números reais é igual à união da interior de ( ), a interior do complemento de ( ) e a fronteira de ( ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de topologia, como interior, complemento e fronteira de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada um desses termos significa:
  • Interior ( ): é o conjunto de todos os pontos de que têm um entorno aberto completamente contido em . Basicamente, são os pontos “centrais” de .
  • Complemento de ( ): é o conjunto de todos os números reais que não estão em .
  • Fronteira ( ): é o conjunto de pontos onde qualquer entorno do ponto contém tanto pontos de quanto pontos que não estão em . São os “limites” de .

Passo 3

Vamos mostrar que todo número real pertence a pelo menos um dos conjuntos , ou .
Existem três possibilidades para :
  1. está na interior de , ou seja, .
  2. está na interior do complemento de , ou seja, .
  3. não está em nenhum dos interiores, então ele está na fronteira de , ou seja, .

Passo 4

Vamos verificar cada caso:
  1. Se , então faz parte da união .
  2. Se , também pertence à união.
  3. Se não está em nenhum dos interiores, então qualquer entorno de contém pontos de e de , o que significa que está na fronteira de , então .

Passo 5

Como qualquer deve pertencer a pelo menos um desses três conjuntos, concluímos que:

Resposta

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