Faça os seguintes itens:
b) Prove que, para todo
.
b) Prove que, para todo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, para qualquer conjunto
de números reais, o conjunto dos números reais
é igual à união da interior de
(
), a interior do complemento de
(
) e a fronteira de
(
). Para resolver isso, vamos usar conceitos de topologia, como interior, complemento e fronteira de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada um desses termos significa:
-
Interior (
): é o conjunto de todos os pontos de que têm um entorno aberto completamente contido em . Basicamente, são os pontos “centrais” de . -
Complemento de
( ): é o conjunto de todos os números reais que não estão em . -
Fronteira (
): é o conjunto de pontos onde qualquer entorno do ponto contém tanto pontos de quanto pontos que não estão em . São os “limites” de .
Passo 3
Vamos mostrar que todo número real
pertence a pelo menos um dos conjuntos
,
ou
.
Existem três possibilidades para
:
-
está na interior de , ou seja, . -
está na interior do complemento de , ou seja, . -
não está em nenhum dos interiores, então ele está na fronteira de , ou seja, .
Passo 4
Vamos verificar cada caso:
-
Se
, então faz parte da união . -
Se
, também pertence à união. -
Se
não está em nenhum dos interiores, então qualquer entorno de contém pontos de e de , o que significa que está na fronteira de , então .
Passo 5
Como qualquer
deve pertencer a pelo menos um desses três conjuntos, concluímos que: