Faça os seguintes itens:
a) Prove que Int(X) ∪ Int(Y) ⊆ Int(X ∪ Y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a união dos interiores de dois conjuntos e está contida no interior da união desses conjuntos, ou seja, mostrar que . Para isso, vamos precisar entender o que é o interior de um conjunto e como funciona a união de conjuntos na topologia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o interior de um conjunto. O interior de um conjunto , denotado por , é o maior conjunto aberto que está totalmente contido em . Em outras palavras, são todos os pontos de que têm uma “bolinha” ao redor totalmente dentro de .

Passo 3

Agora, vamos pensar na união . Isso significa que estamos pegando todos os pontos que estão no interior de ou no interior de . Cada um desses pontos tem uma “bolinha” que está completamente dentro de ou de , respectivamente.

Passo 4

Queremos provar que qualquer ponto que esteja em também está no interior de . Ou seja, se um ponto está no interior de ou no interior de , ele deve ter uma “bolinha” completamente dentro de .

Passo 5

Vamos pegar um ponto que está em . Isso significa que está em ou em .

Passo 6

Se está em , então existe uma vizinhança aberta de que está totalmente dentro de . Como , essa vizinhança também está dentro de , mostrando que está no interior de .

Passo 7

Analogamente, se está em , existe uma vizinhança aberta de que está totalmente dentro de . E como , a vizinhança também está dentro de , garantindo que está no interior de .

Resposta

Assim, todo ponto em está também em . Portanto, provamos que .

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