Faça os seguintes itens:
a) Prove que
.
a) Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a união dos interiores de dois conjuntos
e
está contida no interior da união desses conjuntos, ou seja, mostrar que
. Para isso, vamos precisar entender o que é o interior de um conjunto e como funciona a união de conjuntos na topologia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o interior de um conjunto. O interior de um conjunto
, denotado por
, é o maior conjunto aberto que está totalmente contido em
. Em outras palavras, são todos os pontos de
que têm uma “bolinha” ao redor totalmente dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na união
. Isso significa que estamos pegando todos os pontos que estão no interior de
ou no interior de
. Cada um desses pontos tem uma “bolinha” que está completamente dentro de
ou de
, respectivamente.
Passo 4
Queremos provar que qualquer ponto que esteja em
também está no interior de
. Ou seja, se um ponto está no interior de
ou no interior de
, ele deve ter uma “bolinha” completamente dentro de
.
Passo 5
Vamos pegar um ponto
que está em
. Isso significa que
está em
ou em
.
Passo 6
Se
está em
, então existe uma vizinhança aberta
de
que está totalmente dentro de
. Como
, essa vizinhança
também está dentro de
, mostrando que
está no interior de
.
Passo 7
Analogamente, se
está em
, existe uma vizinhança aberta
de
que está totalmente dentro de
. E como
, a vizinhança
também está dentro de
, garantindo que
está no interior de
.
Resposta
Assim, todo ponto em
está também em
. Portanto, provamos que
.