Lim x4-16/x2-x-2
x–> 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de x^4 - 16x^2 - x - 2 quando x se aproxima de 2. Esse tipo de problema faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente envolvendo fatoração e simplificação de expressões algébricas. Para resolver, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão e então substituir o valor de x.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador x^4 - 16. Perceba que isso é uma diferença de quadrados, já que x^4 = (x^2)^2 e 16 = 4^2. A diferença de quadrados pode ser fatorada como:
x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)
Agora, observe que x^2 - 4 também é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada novamente:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Então, o numerador completamente fatorado fica:
x^4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)

Passo 3

Vamos agora fatorar o denominador x^2 - x - 2. Para isso, precisamos encontrar dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e 1. Portanto, a fatoração fica:
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)

Passo 4

Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, podemos reescrever a expressão original:
x^4 - 16x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)(x - 2)(x + 1)
Perceba que o termo (x - 2) aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelá-lo:
(x + 2)(x^2 + 4)x + 1

Passo 5

Agora, com a expressão simplificada, podemos substituir x por 2:
(2 + 2)(2^2 + 4)2 + 1 = 4 times (4 + 4)3 = 4 times 83 = 323

Resposta

323

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