Limite x^2-1/x-1   x—>1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o limite de x^2 - 1x - 1 quando x se aproxima de 1. Isso está dentro do assunto de Cálculo de Limites, especificamente lidando com limites que inicialmente resultam em uma forma indeterminada. Para resolver, vamos precisar usar um pouco de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de x = 1 diretamente na expressão para ver o que acontece:
(1)^2 - 11 - 1 = 1 - 10 = 00
Ah, isso dá uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar x^2 - 1x - 1, vamos fatorar o numerador. Sabemos que x^2 - 1 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Então, substituindo na expressão original:
(x - 1)(x + 1)x - 1

Passo 4

Agora, percebemos que o termo x - 1 está no numerador e no denominador, e desde que x neq 1 (porque não podemos dividir por zero), podemos simplificar esses termos:
(x - 1)(x + 1)x - 1 = x + 1

Passo 5

Com a expressão simplificada para x + 1, agora podemos calcular o limite substituindo x = 1:
limx to 1 (x + 1) = 1 + 1 = 2

Resposta

O limite de x^2 - 1x - 1 quando x se aproxima de 1 é 2.

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