Uma linha sem distorção, que opera em 120 MHz, tem R=20 Omega / m, L=0,3 mu H / m e C=63 pF / m. Determine gamma, u e Z0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma linha de transmissão que opera a 120 MHz, e nos foram dados os valores de resistência $ R = 20 , \Omega/m $, indutância $ L = 0,3 , \muH/m $ e capacitância $ C = 63 , pF/m $. Nosso objetivo é encontrar três coisas: o constante de propagação $ \gamma $, a velocidade de propagação $ u $ e a impedância característica $ Z_0 $ dessa linha. Para resolver isso, vamos usar conceitos de linhas de transmissão e algumas fórmulas básicas de eletricidade e magnetismo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a frequência angular $ \omega $ que está relacionada à frequência do sinal. A fórmula para $ \omega $ é:
omega
Onde $ f $ é a frequência em Hertz.
Como $ f = 120 , MHz $, substituindo na fórmula:
omega

Passo 3

Agora, vamos determinar o constante de propagação $ \gamma $. A constante de propagação é uma quantidade complexa que nos dá informações sobre a atenuação e a fase da onda que se propaga na linha. A fórmula para $ \gamma $ é:
gamma
No nosso caso, a linha está sem distorção, o que normalmente significa que a condutância $ G = 0 $. Então, a fórmula simplifica para:
gamma

Passo 4

Vamos simplificar a expressão para $ \gamma $:
gamma
Sabemos que $ j^2 = -1 $, então:
gamma = raiz(R + jomega L)(jomega C) = raizjomega C R + j^2 omega^2 L C
Esse resultado é uma quantidade complexa, onde a parte real representa a atenuação ($ \alpha j^2 = -1 á \beta $).

Passo 5

Vamos calcular $ \alpha $ e $ \beta $ separadamente. Para isso, precisamos primeiro calcular os valores numéricos.
Primeiro, calculamos $ \omega $:
alpha
Agora, substituímos os valores na expressão para $ \gamma $:
beta
Calculando cada termo:
omega
omega = 2 times pi times 120 times 10^6 approx 7,54 times 10^8 , rad/s
Então:
gamma
Para simplificar a raiz quadrada de um número complexo, podemos usar a representação polar ou outras técnicas, mas para fins práticos, podemos considerar que $ \alpha $ é dominado pelo termo real e $ \beta $ pelo term imaginário.
Portanto:
gamma = raizj times 7,54 times 10^8 times 63 times 10^-12 times 20 - (7,54 times 10^8)^2 times 0,3 times 10^-6 times 63 times 10^-12
jomega CR = j times 7,54 times 10^8 times 63 times 10^-12 times 20 approx j times 0,949

Passo 6

Com $ \beta $ calculada, podemos encontrar a velocidade de propagação $ u $ usando a fórmula:
beta
Substituindo os valores:
u

Passo 7

Agora, vamos determinar a impedância característica $ Z_0 $. A fórmula para $ Z_0 $ é:
Z0
Substituindo os valores:
Z0
Calculando os termos:
Z0 = raizR + jomega Ljomega C
Z0 = raiz20 + j times 7,54 times 10^8 times 0,3 times 10^-6j times 7,54 times 10^8 times 63 times 10^-12
Então:
R + jomega L = 20 + j times 225 approx 20 + j 225
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por $ -j $:
jomega C = j times 7,54 times 10^8 times 63 times 10^-12 approx j 0,0474
A parte real no denominador cancela, e simplificando obtemos aproximadamente:
Z0 = raiz20 + j 225j 0,0474

Resposta

Então, os valores determinados são:
gamma approx 0,108 , Np/m + j , 0,949 , rad/m
u approx 7,94 times 10^8 , m/s
Z0 approx 68,8 , Omega

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