Uma linha de transmissão sem perdas possui impedância característica igual a 50 Omega e uma onda de tensão de 10 V e comprimento de onda de 1 m propagando-se ao longo de sua extensão. A carga possui uma impedância de 100+j 50 Omega. Calcule: A taxa de onda estacionária na linha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre linhas de transmissão sem perdas. O enunciado nos dá uma impedância característica de 50 Omega, uma onda de tensão de 10 V com comprimento de onda de 1 m propagando na linha, e uma carga com impedância 100 + j50 Omega. Nosso objetivo aqui é calcular a taxa de onda estacionária (SWR) na linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a taxa de onda estacionária. Ela nos indica a relação entre a máxima e a mínima tensão (ou corrente) ao longo da linha de transmissão, causada por reflexões na extremidade da linha quando a impedância da carga não combina com a impedância característica da linha.
A fórmula para calcular o SWR a partir do coeficiente de reflexão ( Gamma) é:
SWR = 1 + |Gamma|1 - |Gamma|
Então, para encontrar o SWR, precisamos primeiro calcular o coeficiente de reflexão Gamma.

Passo 3

O coeficiente de reflexão Gamma é dado pela fórmula:
Gamma = ZL - Z0ZL + Z0
Onde:
  • ZL é a impedância da carga.
  • Z0 é a impedância característica da linha.
Vamos aplicar os valores fornecidos:
ZL = 100 + j50 , Omega
Z0 = 50 , Omega

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula do Gamma:
Gamma = (100 + j50) - 50(100 + j50) + 50 = 50 + j50150 + j50
Agora, para simplificar essa expressão, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
Gamma = (50 + j50)(150 - j50)(150 + j50)(150 - j50)

Passo 5

Calculando o numerador:
(50 + j50)(150 - j50) = 50 times 150 + 50 times (-j50) + j50 times 150 + j50 times (-j50)
= 7500 - j2500 + j7500 - j^2 2500
]
Como j^2 = -1, então:
= 7500 - j2500 + j7500 + 2500
= 7500 + 2500 + j(7500 - 2500)
= 10,000 + j5,000
Calculando o denominador:
(150 + j50)(150 - j50) = 150^2 - (j50)^2 = 22,500 - (-2,500) = 25,000
Então,
Gamma = 10,000 + j5,00025,000 = 10,00025,000 + j5,00025,000 = 0,4 + j0,2

Passo 6

Agora, vamos encontrar o módulo de Gamma, que é necessário para calcular o SWR:
|Gamma| = raiz(0,4)^2 + (0,2)^2 = raiz0,16 + 0,04 = raiz0,20 approx 0,4472

Passo 7

Com o valor de |Gamma|, podemos calcular o SWR usando a fórmula mencionada:
SWR = 1 + 0,44721 - 0,4472 = 1,44720,5528 approx 2,62

Resposta

A taxa de onda estacionária (SWR) na linha é aproximadamente 2,62.

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