Uma linha de transmissão sem perdas de 60 Omega é conectada a um gerador, que tem Vg= 10 ang<= 0^circ Vr m s e Zg=60-j 40 Omega e é terminada por uma carga de j 40 Omega. Se a linha tem um comprimento de 100 metros e beta=0,25 rad / m, calcule a impedância de entrada e a tensão: A 3 m da carga;

Passo 1

Resumo do Exercício:
Temos uma linha de transmissão sem perdas com impedância característica de 60,Omega. Essa linha está conectada a um gerador que fornece uma tensão de Vg = 10 ang<= 0^circ, Vrms e possui uma impedância interna de Zg = 60 - j40,Omega. A linha termina com uma carga de ZL = j40,Omega. A linha tem um comprimento de 100,metros e a constante de propagação é beta = 0,25,rad/m.
Conteúdo da Matéria:
  • Linha de Transmissão: Estudo de como sinais elétricos se propagam através de uma linha com características específicas.
  • Impedância de Entrada: Impedância que aparece na entrada da linha de transmissão.
  • Tensão ao Longo da Linha: Cálculo da tensão em um ponto específico da linha a partir da carga.
O que Precisamos para Resolver:
  1. Fórmulas para calcular a impedância de entrada Zin em uma linha de transmissão.
  2. Fórmulas para determinar a tensão em um ponto específico da linha a uma certa distância da carga.
  3. Conhecimentos sobre funções trigonométricas aplicadas a constantes de propagação.

Passo 2

Cálculo da Impedância de Entrada ( Zin):
Para calcular a impedância de entrada de uma linha de transmissão, usamos a fórmula:
Zin = Z0 cdot ZL + j Z0 tan(beta l)Z0 + j ZL tan(beta l)
Onde:
  • Z0 = 60,Omega (impedância característica)
  • ZL = j40,Omega (impedância da carga)
  • beta = 0,25,rad/m (constante de propagação)
  • l = 100,m (comprimento da linha)
Passos para o Cálculo:
  1. Calcular beta l:
beta l = 0,25,rad/m times 100,m = 25,rad
  1. Calcular tan(beta l):
tan(25,rad)
Como 25,rad é um ângulo grande, precisamos considerar a periodicidade da tangente ( pi) para simplificar. Sabemos que:
25,rad = 25 - 2pi times n
Encontramos um valor equivalente entre 0 e 2pi para facilitar o cálculo. No entanto, para fins práticos, vamos calcular diretamente:
tan(25) approx 0,1324
  1. Substituir os valores na fórmula de Zin:
Zin = 60 cdot j40 + j60 times 0,132460 + jj40 times 0,1324
Simplificando:
Zin = 60 cdot j40 + j7,94460 - 40 times 0,1324
Zin = 60 cdot j47,94460 - 5,296
Zin = 60 cdot j47,94454,704
Zin approx 60 cdot j0,878 = j52,68,Omega

Passo 3

Cálculo da Tensão a 3 Metros da Carga ( V3m):
Para calcular a tensão em um ponto específico da linha, usamos a seguinte fórmula:
V(d) = VL^+ (1 + Gamma e^-j2beta d)
Onde:
  • d = 3,m (distância da carga)
  • VL^+ é a onda avançante na carga
  • Gamma é o coeficiente de reflexão
  • beta = 0,25,rad/m
Passos para o Cálculo:
  1. Calcular o Coeficiente de Reflexão ( Gamma):
Gamma = ZL - Z0ZL + Z0 = j40 - 60j40 + 60 = -60 + j4060 + j40
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Gamma = (-60 + j40)(60 - j40)(60 + j40)(60 - j40) = -3600 + j2400 + j2400 - j^2 16003600 + 1600
Sabendo que j^2 = -1:
Gamma = -3600 + j4800 + 16005200 = -2000 + j48005200 = -0,3846 + j0,9231
  1. Calcular e^-j2beta d:
2beta d = 2 times 0,25,rad/m times 3,m = 1,5,rad
e^-j1,5 = cos(1,5) - jsin(1,5) approx 0,0707 - j0,9975
  1. Substituir os valores na fórmula de V(d):
Assumindo VL^+ = Vg (simplificação para esta resolução):
V(3) = 10 ang<= 0^circ (1 + (-0,3846 + j0,9231)(0,0707 - j0,9975))
Multiplicando os termos:
V(3) = 10 [1 + (-0,3846 times 0,0707) - (-0,3846 times j0,9975) + (j0,9231 times 0,0707) + (j0,9231 times -j0,9975)]
Simplificando:
V(3) = 10 [1 - 0,0272 + j0,3840 + j0,0653 + 0,9203]
V(3) = 10 [1 - 0,0272 + 0,9203 + j(0,3840 + 0,0653)]
V(3) = 10 [1,8931 + j0,4493]
Convertendo para forma polar:
|V(3)| = 10 times raiz1,8931^2 + 0,4493^2 approx 10 times 1,961 approx 19,61,V
ang<= V(3) = arctan(0,44931,8931) approx 13,4^circ

Resposta

A impedância de entrada da linha é aproximadamente j52,68,Omega e a tensão a 3,metros da carga é de cerca de 19,61 ang<= 13,4^circ,V.

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