Uma linha de transmissão possui uma impedância característica de 50 Omega e é terminada por uma carga de impedância 50+j 50 Omega. Considere que a linha seja sem perdas. Calcule o coeficiente de reflexão;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma linha de transmissão com impedância característica de 50,Omega e está sendo terminada por uma carga de impedância 50 + j50,Omega. Nosso objetivo é calcular o coeficiente de reflexão dessa linha. Para isso, vamos precisar entender o que é impedância característica, impedância de carga e como calcular o coeficiente de reflexão usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é impedância característica ( Z0) de uma linha de transmissão. Ela é uma propriedade que depende dos materiais e da geometria da linha, e indica como ondas eletromagnéticas se comportam na linha. No nosso caso, Z0 = 50,Omega.

Passo 3

A impedância de carga ( ZL) é a impedância no final da linha de transmissão. Aqui, temos ZL = 50 + j50,Omega. O j indica que há uma parte imaginária, ou seja, uma componente reativa (neste caso, indutiva ou capacitiva).

Passo 4

O coeficiente de reflexão ( Gamma) nos diz o quanto da onda que chega à carga é refletida de volta na linha. Ele é calculado pela fórmula:
Gamma = ZL - Z0ZL + Z0
Vamos aplicar essa fórmula com nossos valores.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
Gamma = (50 + j50) - 50(50 + j50) + 50 = j50100 + j50

Passo 6

Agora, para simplificar essa expressão, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é 100 - j50:
Gamma = j50 times (100 - j50)(100 + j50) times (100 - j50)

Passo 7

Calculando o numerador:
j50 times 100 = j5000 j50 times (-j50) = -j^2 2500 = 2500 (pois j^2 = -1)
Então, o numerador fica: j5000 + 2500
Calculando o denominador:
100 times 100 = 10000 100 times (-j50) = -j5000 j50 times 100 = j5000 j50 times (-j50) = -j^2 2500 = 2500
Então, o denominador fica: 10000 + 2500 = 12500

Passo 8

Agora, temos:
Gamma = 2500 + j500012500 = 250012500 + j500012500 = 0,2 + j0,4

Passo 9

Para expressar o coeficiente de reflexão em termos de magnitude e fase, calculamos:
Magnitude:
|Gamma| = raiz0,2^2 + 0,4^2 = raiz0,04 + 0,16 = raiz0,2 approx 0,447
Ângulo de reflexão ( theta):
theta = arctan(0,40,2) = arctan(2) approx 63,43^circ

Resposta

O coeficiente de reflexão é Gamma = 0,2 + j0,4, com magnitude aproximada de 0,447 e ângulo de 63,43^circ.

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