Uma linha de produção de chips eletrônicos possui um sistema de controle de qualidade automatizado que classifica as peças como aceitas ou rejeitadas. Sabemos que
das peças produzidas estão dentro dos padrões, e o restante é defeituoso. Um lote de 200 peças é inspecionado.
(a) Se o sistema de controle de qualidade inspecionar um lote de 200 peças, qual a probabilidade de que no máximo 5 peças sejam defeituosas? Utilize a aproximação normal à distribuição binomial.
(a) Se o sistema de controle de qualidade inspecionar um lote de 200 peças, qual a probabilidade de que no máximo 5 peças sejam defeituosas? Utilize a aproximação normal à distribuição binomial.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o problema. Temos uma linha de produção que fabrica chips eletrônicos, onde 95% das peças são boas e 5% são defeituosas. Queremos saber qual a chance de, ao inspecionar um lote de 200 peças, no máximo 5 delas serem defeituosas. Para resolver isso, vamos usar a aproximação normal à distribuição binomial.
Passo 2
A distribuição binomial é usada para calcular probabilidades de eventos que têm dois resultados possíveis (como sucesso ou falha) em um certo número de tentativas. Porém, quando o número de tentativas (n) é grande, calcular diretamente pode ser complicado. Por isso, usamos a aproximação normal, que simplifica os cálculos.
Passo 3
Para usar a aproximação normal, precisamos encontrar a média (μ) e o desvio padrão (σ) da distribuição binomial original. Elas são calculadas assim:
Onde:
-
(número de peças) -
(probabilidade de uma peça ser defeituosa)
Passo 4
Calculando a média:
E o desvio padrão:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a probabilidade de no máximo 5 peças serem defeituosas, ou seja,
. Usamos a fórmula de transformação para a distribuição normal:
O “+0.5” é a correção de continuidade, que melhora a aproximação.
Passo 6
Calculando o valor de Z para X = 5:
Agora, consultamos uma tabela da distribuição normal para encontrar
.
Passo 7
Consultando a tabela,
ou 7,21%.
Resposta
A probabilidade de que no máximo 5 peças sejam defeituosas é aproximadamente 7,2%.