Uma linha de transmissão é composta por dois fios em paralelo (fios 6 AWG, diâmetro =0,162 pol. e sigmax=58 MS / m ) separados por uma distância de 12 pol. no ar. Desprezando a indutância interna, determine os valores dos parâmetros por unidade de comprimento L, C, G, a resistência c c e a resistência c a para a frequência de 1 MHz . Os quatro fatores geométricos para a linha considerada dependem do raio dos condutores, a=2,06 times 10^-3, e a distância de separação, d=0,305 m. Dado que d>>a, e que, 1 pol. =0,0254 m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma linha de transmissão formada por dois fios paralelos e nos pede para determinar os valores dos parâmetros por unidade de comprimento: indutância ( L), capacitância ( C), condutância ( G), resistência c c e resistência c a, para uma frequência de 1 MHz. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre linhas de transmissão e usar algumas fórmulas básicas de eletromagnetismo e teoria de circuitos. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as medidas para o sistema métrico, já que algumas estão dadas em polegadas (pol.). Sabemos que:
1 pol = 0,0254 m
Então:
  • Diâmetro dos fios: 0,162 pol times 0,0254 m/pol = 0,004119 m
  • Raio dos condutores: a = 2,06 times 10^-3 m
  • Distância de separação: d = 12 pol times 0,0254 m/pol = 0,3048 m (aproximadamente 0,305 m)

Passo 3

Agora, vamos calcular a indutância ( L) por unidade de comprimento. Para duas linhas paralelas, a indutância pode ser calculada pela fórmula:
L = mu0pi ln(da)
Onde:
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo: 4pi times 10^-7 H/m
  • d é a distância entre os centros dos condutores
  • a é o raio dos condutores
Substituindo os valores:
L = 4pi times 10^-7pi ln(0,3052,06 times 10^-3)
L = 4 times 10^-7 times ln(148 )
L = 4 times 10^-7 times 4,998
L approx 1,999 times 10^-6 H/m
L approx 2,0 times 10^-6 H/m

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a capacitância ( C) por unidade de comprimento. A fórmula para duas linhas paralelas é:
C = pi varepsilon0ln(da)
Onde:
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo: 8,854 times 10^-12 F/m
Substituindo os valores:
C = pi times 8,854 times 10^-12ln(148)
C = 27,8 times 10^-124,998
C approx 5,56 times 10^-12 F/m
C approx 5,56 pF/m

Passo 5

Agora, vamos calcular a condutância ( G) por unidade de comprimento. A condutância está relacionada à perda por corrente de fuga através do dielétrico (ar, no caso). A fórmula é:
G = sigma pi a^2d
Onde:
  • sigma é a condutividade elétrica do ar. No entanto, como o ar é um isolante, sua condutividade é muito baixa e geralmente desprezível. Portanto, G approx 0 S/m.
Neste caso, como estamos considerando o ar como dielétrico, podemos assumir que G é praticamente zero.

Passo 6

Agora, precisamos calcular as resistências c c e c a. Geralmente, na análise de linhas de transmissão, consideramos duas resistências principais:
  • R: resistência do condutor principal (c c)
  • R': resistência relacionada à corrente de retorno ou a efeitos adicionais (c a)
A resistência de um condutor pode ser calculada pela fórmula:
R = rhoA
Onde:
  • rho é a resistividade do material
  • A é a área da seção transversal
Primeiro, precisamos determinar a resistividade ( rho) a partir da condutividade ( sigma):
rho = 1sigma
Dado que sigmax = 58 MS/m, temos:
rho = 158 times 10^6
rho approx 1,724 times 10^-8 Ω·m
Agora, a área da seção transversal ( A) dos fios:
A = pi a^2 = pi (2,06 times 10^-3)^2
A approx 1,334 times 10^-5 m^2
Então, a resistência c c por unidade de comprimento:
Rcc = rhoA
Rcc = 1,724 times 10^-81,334 times 10^-5
Rcc approx 1,294 times 10^-3 Ω/m
Rcc approx 1,29 mΩ/m
Para a resistência c a, se assumirmos que está relacionada a correntes parasitas ou efeitos de proximidade, pode-se considerar valores adicionais ou fatores de correção. Porém, sem informações adicionais, podemos assumir que Rca é similar a Rcc ou negligenciável dependendo do contexto específico. Para este exercício, vamos assumir que Rca approx Rcc:
Rca approx 1,29 mΩ/m

Resposta

Os valores dos parâmetros por unidade de comprimento para a linha de transmissão são:
  • Indutância,
  • Capacitância,
  • Condutância,
  • Resistência ,
  • Resistência ,

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