Um liquido escoa sobre uma placa plana fina de um sólido levemente soluvel. Sobre a região na qual a difusão esta ocorrendo, a velocidade do líquido pode ser assumida paralela a placa por
ay, onde y é a distancia a partir da placa e a é uma constante. Mostrar que a equação governante para transferência de massa, com certas suposições simplificadoras, é:
Listar as suposições simplificadoras.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a transferência de massa de um líquido que está escoando sobre uma placa plana feita de um sólido que se dissolve um pouquinho. A velocidade do líquido é paralela à placa e depende da distância y a partir dela, sendo dada por θ = ay, onde “a” é uma constante. O conteúdo principal aqui é Transferência de Massa. Para resolver, vamos precisar entender as equações de conservação de massa e como a difusão acontece nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Equação de Conservação de Massa para transferência de massa em um fluxo estacionário sem geração ou consumo de massa. A equação geral é:
Aqui,
é o vetor velocidade do fluxo,
é a concentração da espécie A, e
é o coeficiente de difusão.
Passo 3
No nosso caso, a velocidade é dada por
e é paralela à placa, ou seja, só tem componente na direção x. Então, podemos escrever o vetor velocidade como:
Agora, vamos calcular o termo
. Como a velocidade só tem componente em x, temos:
Passo 4
A equação de conservação de massa então fica:
Expandindo o operador laplaciano
em coordenadas cartesianas, temos:
Substituindo de volta na equação, fica:
Resposta
A equação governante para transferência de massa, com as suposições simplificadoras feitas, é:
Lista das suposições simplificadoras:
- Fluxo estacionário: As condições não variam com o tempo.
- Escoamento laminar e paralelo à placa: A velocidade do líquido depende apenas de y e é na direção x.
- Difusão unidimensional: Consideramos as variações de concentração apenas nas direções x e y.
- Nenhuma reaç��o química: Não há consumo ou geração de massa da espécie A.
- Constante coeficiente de difusão (D): O coeficiente de difusão não varia com a posição ou concentração.