Um liquido escoa sobre uma placa plana fina de um sólido levemente soluvel. Sobre a região na qual a difusão esta ocorrendo, a velocidade do líquido pode ser assumida paralela a placa por vartheta= ay, onde y é a distancia a partir da placa e a é uma constante. Mostrar que a equação governante para transferência de massa, com certas suposições simplificadoras, é:
D(partial^2 cApartial x^2+partial^2 cApartial y^2)= ay partial cApartial x
Listar as suposições simplificadoras.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a transferência de massa de um líquido que está escoando sobre uma placa plana feita de um sólido que se dissolve um pouquinho. A velocidade do líquido é paralela à placa e depende da distância y a partir dela, sendo dada por θ = ay, onde “a” é uma constante. O conteúdo principal aqui é Transferência de Massa. Para resolver, vamos precisar entender as equações de conservação de massa e como a difusão acontece nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Equação de Conservação de Massa para transferência de massa em um fluxo estacionário sem geração ou consumo de massa. A equação geral é:
v cdot nabla cA = D nabla^2 cA
Aqui, é o vetor velocidade do fluxo, é a concentração da espécie A, e é o coeficiente de difusão.

Passo 3

No nosso caso, a velocidade é dada por v = ay , x e é paralela à placa, ou seja, só tem componente na direção x. Então, podemos escrever o vetor velocidade como:
v cdot nabla cA = ay partial cApartial x
Agora, vamos calcular o termo . Como a velocidade só tem componente em x, temos:

Passo 4

A equação de conservação de massa então fica:
ay partial cApartial x = D nabla^2 cA
Expandindo o operador laplaciano nabla^2 cA = partial^2 cApartial x^2 + partial^2 cApartial y^2 em coordenadas cartesianas, temos:
D ( partial^2 cApartial x^2 + partial^2 cApartial y^2 ) = ay partial cApartial x
Substituindo de volta na equação, fica:

Resposta

A equação governante para transferência de massa, com as suposições simplificadoras feitas, é:
D ( partial^2 cApartial x^2 + partial^2 cApartial y^2 ) = ay partial cApartial x
Lista das suposições simplificadoras:
  1. Fluxo estacionário: As condições não variam com o tempo.
  2. Escoamento laminar e paralelo à placa: A velocidade do líquido depende apenas de y e é na direção x.
  3. Difusão unidimensional: Consideramos as variações de concentração apenas nas direções x e y.
  4. Nenhuma reaç��o química: Não há consumo ou geração de massa da espécie A.
  5. Constante coeficiente de difusão (D): O coeficiente de difusão não varia com a posição ou concentração.

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