Um líquido A e B estão inicialmente separados por um disco removivel. Quando este disco é removido, há uma interdifusão unidemensional dos dois liquidos. Escreva a equação diferencial para a distribuição de concentração da especie A, e estabeleça as condicões de contorno necessária que seria requerida para solução da equação diferencial. R.
e
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois líquidos, A e B, separados inicialmente por um disco que pode ser removido. Quando esse disco é retirado, os dois líquidos começam a se misturar através de um processo chamado interdifusão unidimensional. Nosso objetivo é escrever a equação diferencial que descreve como a concentração do líquido A se distribui ao longo do tempo e do espaço. Além disso, precisamos estabelecer as condições de contorno que são necessárias para resolver essa equação.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Difusão: movimento das partículas de uma região de alta concentração para uma de baixa concentração.
- Equação de Fick: descreve matematicamente o processo de difusão.
- Condições de contorno: informações sobre o sistema nas fronteiras do domínio considerado.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a difusão. É o processo pelo qual as moléculas de uma substância se espalham de uma área onde estão mais concentradas para outra onde estão menos concentradas. Esse movimento continua até que as concentrações se igualem.
A Equação de Difusão de Fick para uma dimensão (apenas no eixo z) é dada por:
Onde:
-
é a fração de concentração da espécie A. -
é o tempo. -
é o coeficiente de difusão entre A e B. -
é a coordenada espacial na direção da difusão.
Essa equação diz que a taxa de variação da concentração de A em relação ao tempo é proporcional à segunda derivada da concentração em relação à posição, o que representa a concavidade da curva de concentração.
Passo 3
Agora, vamos estabelecer as condições de contorno, que são essenciais para resolver a equação diferencial. Essas condições definem o comportamento da concentração nos limites do nosso sistema.
-
Condições iniciais (quando
): - Para
: Todo o líquido presente é o B, então a concentração de A é zero. Matemáticamente: - Para
: Todo o líquido presente é o A, então a concentração de A é um (100%). Matemáticamente:
- Para
-
Condição na interface (
) para todo : - No instante inicial da remoção do disco, a interface entre os líquidos A e B fica com uma concentração média de A. Portanto:
- No instante inicial da remoção do disco, a interface entre os líquidos A e B fica com uma concentração média de A. Portanto:
Essas condições de contorno garantem que a solução da equação diferencial reflita corretamente o comportamento físico do sistema após a remoção do disco.
Resposta
A equação diferencial que descreve a distribuição de concentração da espécie A é:
As condições de contorno necessárias são:
-
Para
e : -
Para
e : -
Na interface (
) para todo :
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e
. A mistura do gas esta a
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