Os pontos 1 e 2 devem ser colocados no tubo de entrada e no banheiro, respectivamente. O problema fornece a velocidade v1 e a pressão P1 no tubo de entrada, e os diâmetros do tubo nos pontos 1 e 2 (por meio dos quais calculamos as áreas A1 e A2 ). Fazemos y1=0 (na entrada) e y2=5,0 m (no banheiro). As duas primeiras variáveis que precisamos encontrar são a velocidade v2 e a pressão P2. Como temos mais de uma incógnita, usamos tanto a equação de Bernoulli quanto a equação da continuidade para um fluido incompressível. Assim que encontrarmos v2, podemos calcular a vazão volumétrica v2 A2 no ponto 2 .
Encontramos a velocidade v2 no banheiro usando a equação da continuidade, relação A1 v1=A2 v2 :
v2=A1A2 v1=pi(1)pi(0,5) cdot 1,5=6 m / s
Conhecemos P1 e v1 e podemos achar P2 pela equação de Bernoulli:
P2=P1-12 rho(v2^2-v1^2)-rho g(y2-y1)=4.10^5-12(1.10^3)(36-2,25)-(1.10^3)(9,8)(5)
P2=3,3 cdot 10^5 Pa
A vazão volumétrica é
dVdt=A2 v2=pi(0,5 cdot 10^-2)(6)=4,7 cdot 10^-4 m^3 / s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Basicamente, temos um tubo com dois pontos: o ponto 1 (entrada) e o ponto 2 (banheiro). A gente sabe a velocidade v1 e a pressão P1 na entrada, além dos diâmetros dos tubos nesses pontos, o que nos permite calcular as áreas A1 e A2. Queremos descobrir a velocidade v2 e a pressão P2 no banheiro. Para isso, vamos usar duas ferramentas da física dos fluidos: a equação da continuidade e a equação de Bernoulli. No final, também vamos calcular a vazão volumétrica no ponto 2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da continuidade. Ela diz que, para um fluido incompressível (ou seja, que não muda de densidade), o produto da área da seção transversal do tubo pela velocidade do fluido é constante ao longo do tubo. Matemáticamente, isso é:
A1 cdot v1 = A2 cdot v2
Isso significa que se a área diminuir, a velocidade aumenta, e vice-versa.

Passo 3

Vamos calcular as áreas A1 e A2 usando os diâmetros dos tubos. A área de um círculo é dada por:
A = pi cdot r^2 = pi ( d2 )^2
Mas como os diâmetros já estão fornecidos, podemos simplificar:
A = pi cdot d^24
Então, se o diâmetro no ponto 1 é d1 = 1 , m e no ponto 2 é d2 = 0,5 , m, temos:
A1 = pi cdot (1)^24 = pi4 , m^2
A2 = pi cdot (0,5)^24 = pi16 , m^2

Passo 4

Agora, vamos aplicar a equação da continuidade para encontrar v2. Rearranjando a equação:
v2 = A1A2 cdot v1
Substituindo os valores das áreas:
v2 = pi4pi16 cdot 1,5 = 164 cdot 1,5 = 4 cdot 1,5 = 6 , m/s
Então, a velocidade no ponto 2 ( v2) é de 6 m/s.

Passo 5

Agora que temos v2, vamos usar a equação de Bernoulli para encontrar a pressão P2. A equação de Bernoulli para dois pontos ao longo de uma mesma linha de fluxo é:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g y1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g y2
Aqui, rho é a densidade do fluido (vamos assumir que é água, então rho = 1000 , kg/m^3), g é a aceleração da gravidade ( 9,8 , m/s^2), y1 e y2 são as alturas dos pontos 1 e 2, respectivamente.
Rearranjando para encontrar P2:
P2 = P1 + 12 rho v1^2 + rho g y1 - 12 rho v2^2 - rho g y2
Mas no enunciado, já temos y1 = 0 e y2 = 5,0 , m, então simplificando:
P2 = P1 - 12 rho (v2^2 - v1^2) - rho g (y2 - y1)

Passo 6

Agora, substituímos os valores na equação:
P2 = 4 times 10^5 , Pa - 12 times 1000 , kg/m^3 times (6^2 - 1,5^2) , m^2/s^2 - 1000 , kg/m^3 times 9,8 , m/s^2 times (5 - 0) , m
Calculando cada termo:
  1. Termo de velocidade:
    12 times 1000 times (36 - 2,25) = 500 times 33,75 = 16,875 , Pa
  2. Termo de altura:
    1000 times 9,8 times 5 = 49,000 , Pa
Substituindo de volta:
P2 = 4 times 10^5 - 16,875 - 49,000 = 400,000 - 16,875 - 49,000 = 334,125 , Pa
Arredondando, temos P2 approx 3,3 times 10^5 , Pa.

Passo 7

Por fim, vamos calcular a vazão volumétrica no ponto 2, que é a quantidade de fluido que passa por segundo. A fórmula é:
dVdt = A2 cdot v2
Sabemos que A2 = pi16 , m^2 e v2 = 6 , m/s. Então:
dVdt = pi16 times 6 approx 0,1173 times 6 approx 0,7038 , m^3/s
Como o enunciado pediu em notação científica:
dVdt approx 7,04 times 10^-1 , m^3/s

Resposta

A velocidade no banheiro ( v2) é 6 m/s, a pressão ( P2) é 3,3 times 10^5 , Pa e a vazão volumétrica é aproximadamente 7,04 times 10^-1 , m^3/s.

Exercícios relacionados