Em um elevador hidráulico de estação de serviço, o diâmetro do pistão grande é 200 mm e o diâmetro do pistão pequeno é 30 mm . A força é exercida no pequeno pistão por um compressor de ar. (a) Quanta pressão manométrica o compressor deve fornecer para erguer um carro de 1.500 kg ? (b) Se o carro tiver que ser elevado a 1,8 m do chão, que distância o pistão pequeno deve percorrer?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre um elevador hidráulico. A gente precisa entender como a pressão funciona nesses sistemas e como calcular a força necessária para levantar um carro usando pistões de tamanhos diferentes. Vamos usar conceitos de pressão, área de pistões e leis da hidráulica para chegar nas respostas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender as partes do elevador hidráulico:
  • Pistão grande: diâmetro de 200 mm (ou 0,2 m).
  • Pistão pequeno: diâmetro de 30 mm (ou 0,03 m).
  • Massa do carro: 1.500 kg.
Vamos precisar calcular a área de cada pistão para depois usar a fórmula da pressão.

Passo 3

A fórmula para a área de um círculo é:
A = pi (d2)^2
Onde $ d $ é o diâmetro.
Calculando a área do pistão grande ($ A_2 $):
d
E a área do pistão pequeno ($ A_1 $):
A2

Passo 4

Agora, vamos para a parte (a): Qual a pressão manométrica que o compressor deve fornecer para erguer o carro?
Primeiro, precisamos calcular a força necessária para levantar o carro. Usamos a fórmula:
F = m times g
Onde:
  • $ m = 1500 , kg $
  • $ g = 9,81 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
m = 1500 , kg

Passo 5

A pressão é definida como força por unidade de área:
P = FA
Queremos encontrar a pressão no pistão grande ($ P_2 $):
P2
Segundo o Princípio de Pascal, a pressão aplicada no pistão pequeno é igual à pressão no pistão grande ($ P_1 = P_2 $).
Então, a pressão que o compressor deve fornecer é aproximadamente 468,75 Pascal.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): Qual a distância que o pistão pequeno deve percorrer para elevar o carro a 1,8 metros?
Usamos a conservação dos volumes deslocados nos pistões, que diz que:
A1 times d1 = A2 times h
Onde:
  • $ A_1 $ = área do pistão pequeno ≈ 0,0007069 m²
  • $ A_2 $ = área do pistão grande ≈ 0,0314 m²
  • $ h = 1,8 , m $
  • $ d_1 $ = distância que o pistão pequeno deve percorrer
Rearranjando para encontrar $ d_1 $:
A1

Resposta

(a) O compressor deve fornecer uma pressão manométrica de aproximadamente 468,75 Pascal.
(b) O pistão pequeno deve percorrer cerca de 80,19 metros para elevar o carro a 1,8 metros do chão.

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