Seja o conjunto de todos os vetores da forma , onde s in R. Determine um vetor v do R^3 tal que H=[v]. Isso mostra que H é um subespaço de R^3 ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente olhar para o conjunto s 3s 2s que é formado por todos os vetores do tipo
onde é um número real. Nosso objetivo é encontrar um vetor em tal que seja igual a , ou seja, o conjunto de todos os múltiplos de . Além disso, precisamos verificar se isso mostra que é um subespaço de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como combinação linear e subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa [v] = k cdot v mid k in R . Quando escrevemos 1 3 2 , estamos nos referindo a todos os vetores que podem ser obtidos multiplicando o vetor v = 1 3 2 por um escalar . Ou seja,
Agora, observando o conjunto , ele é formado por vetores que são múltiplos de
porque pode ser qualquer número real. Então, podemos escolher como
Assim, temos que todos os vetores em são exatamente os vetores que pertencem a .
Passo 3
Agora, vamos verificar se s 3s 2s = s cdot 1 3 2 = s cdot v é realmente igual a . Tomando qualquer vetor em ,
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como um múltiplo de , e vice-versa. Portanto, .
Passo 4
Por último, para confirmar que 0 0 0 in H é um subespaço de s1 3s1 2s1 + s2 3s2 2s2 = s1 + s2 3(s1 + s2) 2(s1 + s2) in H , precisamos verificar se:
Contém o vetor zero: Se k cdot s 3s 2s = k s 3k s 2k s in H , então
É fechado sob adição: Se pegarmos dois vetores em ,
É fechado sob multiplicação por escalar: Para qualquer vetor em e qualquer escalar ,
Como todas essas condições são atendidas, é de fato um subespaço de .