(a) Um litro de gás com gamma=1,32 está a 273 K e 1 atm de pressão. Ele é repentinamente (adiabaticamente) comprimido até metade do seu volume original. Determine a pressão e a temperatura finais. (b) Em seguida, o gás é resfriado de volta até 273 K a pressão constante. Determine o volume final do gás. © Calcule o trabalho total realizado sobre o gás.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de termodinâmica juntos! A gente tem um gás que está inicialmente a 273 K de temperatura e 1 atm de pressão, com um volume de 1 litro. A resistência específica do gás é gamma = 1,32. Precisamos calcular como a pressão e a temperatura mudam quando comprimimos o gás adiabaticamente (sem troca de calor) até metade do volume original, e depois ver o que acontece quando resfriamos o gás de volta para 273 K mantendo a pressão constante. Também vamos calcular o trabalho total feito sobre o gás. Para isso, vamos usar as leis dos processos adiabáticos e isotérmicos, além da equação de estado dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a) do exercício, que envolve a compressão adiabática. Numa compressão adiabática, não há troca de calor com o ambiente, então usamos a relação:
PV^gamma = constante
Aqui, P é a pressão, V é o volume e gamma é a razão entre os calores específicos.

Passo 3

Sabendo que o volume final V2 é metade do volume inicial V1, temos:
V2 = V12 = 1, L2 = 0,5, L

Passo 4

Usando a relação adiabática P1 V1^gamma = P2 V2^gamma, podemos resolver para a pressão final P2:
P2 = P1 ( V1V2 )^gamma = 1, atm ( 10,5 )^1,32
Calculando isso:
P2 = 1, atm times 2^1,32 approx 1, atm times 2,48 = 2,48, atm

Passo 5

Agora, vamos encontrar a temperatura final T2 após a compressão adiabática. Usamos a relação:
T1 V1^gamma - 1 = T2 V2^gamma - 1
Resolvendo para T2:
T2 = T1 ( V1V2 )^gamma - 1 = 273, K ( 10,5 )^0,32
Calculando isso:
T2 = 273, K times 2^0,32 approx 273, K times 1,25 = 341, K

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). O gás é resfriado de volta para 273 K mantendo a pressão constante. Usamos a equação dos gases ideais:
VT = constante
Isso significa que a razão entre o volume e a temperatura permanece a mesma quando a pressão é constante.

Passo 7

Sabendo que a pressão é constante, podemos relacionar os volumes e temperaturas iniciais e finais:
V2T2 = V3T3
Resolvendo para V3:
V3 = V2 times T3T2 = 0,5, L times 273, K341, K
Calculando isso:
V3 approx 0,5, L times 0,8 = 0,4, L

Passo 8

Finalmente, vamos calcular o trabalho total realizado sobre o gás na parte ©. O trabalho em processos diferentes precisa ser calculado separadamente e depois somado.

Passo 9

Para a compressão adiabática, o trabalho realizado sobre o gás é dado por:
Wadiabático = P1 V1 - P2 V2gamma - 1 á
Usando os valores que já encontramos:
Wadiabático = 1, atm times 1, L - 2,48, atm times 0,5, L1,32 - 1 = 1, atmcdotL - 1,24, atmcdotL0,32 = -0,24, atmcdotL0,32 approx -0,75, atmcdotL á
(Note que o sinal negativo indica trabalho realizado sobre o gás.)

Passo 10

Para o resfriamento a pressão constante, o trabalho é dado por:
Wisobárico = P Deá

Passo 11

Agora, somamos os trabalhos dos dois processos:
Wtotal = Wadiabático + Wisobárico = -0,75, atmcdotL + (-0,1, atmcdotL) = -0,85, atmcdotL áá
Convertendo para joules (sabendo que 1, atmcdotL approx 101,325, J):
Wtotal approx -0,85 times 101,325, J approx -86,13, J

Resposta

O trabalho total realizado sobre o gás é aproximadamente -86, J.

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