Considere uma certa mola que não obedece rigorosamente à lei de Hooke. Uma das extremidades da mola é mantida fixa. Para manter a mola comprimida ou esticada a uma distância x, é necessário aplicar uma força na extremi- dade livre da mola ao longo do eixo x com módulo dado por Fx=k x-b x^2+c x^3. Aqui, k=100 N / m, b=700 N / m^2 e c=12000 N / m^3.
a) Qual o trabalho necessário para esticar essa mola por 0,050 m a partir de seu comprimento sem deformação?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma mola que não segue exatamente a Lei de Hooke. Uma extremidade está fixa e a outra está sendo esticada. A força que a gente precisa aplicar para esticar a mola por uma distância $ x $ é dada por:
x
Aqui, $ k = 100 , N/m $, $ b = 700 , N/m^{2} $ e $ c = 12000 , N/m^{3} $. Queremos descobrir o trabalho necessário para esticar essa mola por $ 0,050 , m $ a partir do comprimento sem deformação. Para isso, vamos usar o conceito de trabalho realizado por uma força variável, que envolve integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho ($ W W éç F_x Fx çãàâ x $). Ou seja:
x
Nesse caso, $ x = 0,050 , m $.

Passo 3

Agora, vamos substituir a expressão da força $ F_x $ na integral:
Fx
Isso significa que vamos integrar cada termo da força separadamente dentro dos limites de 0 a 0,050 metros.

Passo 4

Vamos calcular a integral termo a termo:
  1. Para $ k x $:
k x
2. Para $ -b x^{2} $:
integral k x , dx = 12 k x^2
  1. Para $ c x^{3} $:
-b x^2
Então, o trabalho total fica:
integral -b x^2 , dx = -b3 x^3

Passo 5

Agora, vamos substituir $ x = 0,050 , m $ na expressão integrada:
x = 0,050 , m
E também considerar que quando $ x = 0 $, todas as partes da expressão são zero, então não precisamos subtrair nada.

Passo 6

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. $ \frac{1}{2} \times 100 \times (0,050)^{2} = 50 \times 0,0025 = 0,125 , J $
  2. $ -\frac{700}{3} \times (0,050)^{3} = -\frac{700}{3} \times 0,000125 \approx -0,0292 , J $
  3. $ \frac{12000}{4} \times (0,050)^{4} = 3000 \times 0,00000625 = 0,01875 , J $
    Agora, somamos esses valores:
12 times 100 times (0,050)^2 = 50 times 0,0025 = 0,125 , J

Resposta

O trabalho necessário para esticar a mola por $ 0,050 , m $ é aproximadamente $ 0,115 , J $.

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