Um litro de gás com gamma=1.3 está sob pressão de 1 atm e a uma temperatura de 232 K. Ele é repentinamente comprimido (ou seja, adiabaticamente) até a metade de seu volume original. Encontre sua pressão e sua temperatura finais.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um litro de gás com um coeficiente adiabático gamma = 1.3, pressionado a 1 atm e a uma temperatura de 232 K. Esse gás é comprimido adiabaticamente até a metade do seu volume original. Nosso objetivo aqui é encontrar a pressão e a temperatura finais após essa compressão. Para resolver isso, a gente vai precisar usar as leis dos gases em processos adiabáticos, que envolvem algumas fórmulas legais da termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma compressão adiabática. Adiabática quer dizer que não há troca de calor com o ambiente durante a compressão. Isso implica que toda a energia envolvida na compressão fica na mudança das propriedades do gás, como pressão e temperatura. A relação que vamos usar aqui é:
P1 V1^gamma = P2 V2^gamma
Onde:
  • P1 e V1 são a pressão e o volume inicial.
  • P2 e V2 são a pressão e o volume final.
  • gamma é o coeficiente adiabático.

Passo 3

Sabemos que o volume final ( V2) é a metade do volume inicial ( V1), então podemos escrever:
V2 = V12
Agora, substituímos essa relação na equação adiabática:
P1 V1^gamma = P2 (V12)^gamma

Passo 4

Vamos simplificar essa equação para encontrar P2. Primeiro, dividimos ambos os lados por V1^gamma:
P1 = P2 (12)^gamma
Isso nos leva a:
P2 = P1 (2)^gamma
Substituindo os valores conhecidos:
P2 = 1 atm times 2^1.3

Passo 5

Agora, vamos calcular 2^1.3. Usando uma calculadora:
2^1.3 approx 2.462
Então:
P2 approx 1 atm times 2.462 = 2.462 atm

Passo 6

Para encontrar a temperatura final ( T2), usamos a relação entre temperatura e volume em processos adiabáticos:
T2T1 = (V1V2)^gamma - 1
Sabemos que V1V2 = 2, então:
T2232 K = 2^0.3

Passo 7

Calculando 2^0.3:
2^0.3 approx 1.231
Então:
T2 = 232 K times 1.231 approx 285 K

Resposta

Após a compressão adiabática, a pressão final do gás é aproximadamente 2.46 atm e a temperatura final é cerca de 285 K.

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