Um litro de gás com está sob pressão de e a uma temperatura de . Ele é repentinamente comprimido (ou seja, adiabaticamente) até a metade de seu volume original. Encontre sua pressão e sua temperatura finais.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um litro de gás com um coeficiente adiabático , pressionado a e a uma temperatura de . Esse gás é comprimido adiabaticamente até a metade do seu volume original. Nosso objetivo aqui é encontrar a pressão e a temperatura finais após essa compressão. Para resolver isso, a gente vai precisar usar as leis dos gases em processos adiabáticos, que envolvem algumas fórmulas legais da termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma compressão adiabática. Adiabática quer dizer que não há troca de calor com o ambiente durante a compressão. Isso implica que toda a energia envolvida na compressão fica na mudança das propriedades do gás, como pressão e temperatura. A relação que vamos usar aqui é:
Onde:
  • e são a pressão e o volume inicial.
  • e são a pressão e o volume final.
  • é o coeficiente adiabático.

Passo 3

Sabemos que o volume final ( ) é a metade do volume inicial ( ), então podemos escrever:
Agora, substituímos essa relação na equação adiabática:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação para encontrar . Primeiro, dividimos ambos os lados por :
Isso nos leva a:
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Usando uma calculadora:
Então:

Passo 6

Para encontrar a temperatura final ( ), usamos a relação entre temperatura e volume em processos adiabáticos:
Sabemos que , então:

Passo 7

Calculando :
Então:

Resposta

Após a compressão adiabática, a pressão final do gás é aproximadamente e a temperatura final é cerca de .

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