Dois recipientes idênticos ( A e B) de 1 I contêm gás hélio à 300 K e 1 atm são submetidos aos seguintes processos:
i. O recipiente A, inicialmente, é mantido em contato térmico com um reservatório a 300 K e é expandido até aumentar seu volume em
(1-3)
ii. Após esta primeira expansão, o recipiente A é isolado do meio ambiente e é expandido até atingir o dobro do volume inicial. processo (3-2)
iii. O recipiente B , inicialmente é isolado do meio ambiente e é expandido até aumentar seu volume em
iv. O recipiente B sofre uma segunda expansão, agora em contato térmico com uma fonte a temperatura constante até atingir o dobro do volume inicial (4-2)
a) Calcule a temperatura e a pressão ao final de cada um dos processos
b) Calcule a variação da energia interna, o trabalho realizado sobre o sistema e o calor cedido para o sistema em cada caso.
c) O que você pode concluir ao comparar o processo 1-3-2 com o processo 1-4-2?
i. O recipiente A, inicialmente, é mantido em contato térmico com um reservatório a 300 K e é expandido até aumentar seu volume em
ii. Após esta primeira expansão, o recipiente A é isolado do meio ambiente e é expandido até atingir o dobro do volume inicial. processo (3-2)
iii. O recipiente B , inicialmente é isolado do meio ambiente e é expandido até aumentar seu volume em
iv. O recipiente B sofre uma segunda expansão, agora em contato térmico com uma fonte a temperatura constante até atingir o dobro do volume inicial (4-2)
a) Calcule a temperatura e a pressão ao final de cada um dos processos
b) Calcule a variação da energia interna, o trabalho realizado sobre o sistema e o calor cedido para o sistema em cada caso.
c) O que você pode concluir ao comparar o processo 1-3-2 com o processo 1-4-2?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois recipientes idênticos, A e B, que contêm gás hélio a 300 K e 1 atm. Eles passam por várias expansões sob diferentes condições. A gente vai precisar usar a Lei dos Gases Ideais para calcular temperaturas e pressões finais, além de conceitos de processos isotérmicos e adiabáticos para entender as variações de energia interna, trabalho e calor. Vamos resolver passo a passo as partes (a), (b) e © do exercício.
Passo 2
Parte a) Calcular a temperatura e a pressão ao final de cada um dos processos
Processo i: Expansão Isotérmica do Recipiente A (Processo 1-3)
- Dados iniciais:
- Volume inicial,
- Temperatura inicial,
- Pressão inicial,
- Aumento de volume de 50%, então volume final,
- Volume inicial,
- Condição: Mantido a temperatura constante (
) - Lei dos Gases Ideais:
- Como
é constante, - Então,
- Como
Resultado:
Passo 3
Processo ii: Expansão Adiabática do Recipiente A até o dobro do volume inicial (Processo 3-2)
- Dados:
- Volume final desejado,
- Como já estava em
, vamos de para - Processo adiabático: sem troca de calor (
)
- Volume final desejado,
- Relação adiabática para gases ideais:
-
- Para hélio (monoatômico),
-
- Calculando a pressão final:
-
-
- Isolando
, temos: - Calculando numericamente:
-
- Temperatura final:
- Relação para temperatura em processos adiabáticos:
- Relação para temperatura em processos adiabáticos:
Resultado:
Passo 4
Processo iii: Expansão Adiabática do Recipiente B até aumentar o volume em 1/3 (Processo 1-4)
- Dados iniciais:
- Volume inicial,
- Volume final,
- Processo adiabático (
)
- Volume inicial,
- Lei adiabática:
-
- Calculando a pressão final:
-
-
- Então:
- Calculando numericamente:
-
- Temperatura final:
-
Resultado:
Passo 5
Processo iv: Expansão Isotérmica do Recipiente B até dobrar o volume inicial (Processo 4-2)
- Dados:
- Volume inicial após processo iii,
- Volume final,
- Processo isotérmico (
)
- Volume inicial após processo iii,
- Lei dos Gases Ideais:
-
- Como
é constante, - Então:
-
- Temperatura final:
- Mantém-se constante,
- Mantém-se constante,
Resultado:
Passo 6
Resumo das Temperaturas e Pressões Finais
Recipiente A:
- Processo 1-3 (Isotérmico):
-
- Processo 3-2 (Adiabático):
-
Recipiente B:
- Processo 1-4 (Adiabático):
-
- Processo 4-2 (Isotérmico):
-
Passo 7
Parte b) Calcular a variação da energia interna, o trabalho realizado sobre o sistema e o calor cedido para o sistema em cada caso
Vamos usar as seguintes fórmulas:
- Variação da energia interna (
): - Para gases ideais,
- Para hélio,
- Para gases ideais,
- Trabalho realizado pelo gás (
): - Isotérmico:
- Adiabático:
(pois )
- Isotérmico:
- Calor cedido ao sistema (
): -
Observação: Como os recipientes são de 1 L e em condições de 1 atm e 300 K, podemos calcular o número de mols (
) usando
.
- Cálculo de
:
Processo 1-3 (Recipiente A, Isotérmico):
-
(Isotérmico) -
- Trabalho:
- Calor:
Processo 3-2 (Recipiente A, Adiabático):
-
-
-
-
- Trabalho:
- Calor:
Processo 1-4 (Recipiente B, Adiabático):
-
-
-
-
- Trabalho:
- Calor:
Processo 4-2 (Recipiente B, Isotérmico):
-
-
- Trabalho:
- Calor:
Passo 8
Resumo das Variações
Recipiente A:
- Processo 1-3 (Isotérmico):
-
- Processo 3-2 (Adiabático):
-
Recipiente B:
- Processo 1-4 (Adiabático):
-
- Processo 4-2 (Isotérmico):
-
Passo 9
Parte c) Comparação entre os Processos 1-3-2 e 1-4-2
Vamos comparar os dois caminhos que levam os recipientes a dobrar o volume inicial:
-
Processo 1-3-2 (Recipiente A):
- Primeiro é uma expansão isotérmica e depois uma adiabática.
- Total de trabalho realizado:
- Calor total trocado:
-
Processo 1-4-2 (Recipiente B):
- Primeiro é uma expansão adiabática e depois uma isotérmica.
- Total de trabalho realizado:
- Calor total trocado:
Conclusão:
Os dois processos resultam em variações de trabalho semelhantes ( ), mas a quantidade de calor trocado com o ambiente é diferente. No processo 1-3-2, há um pequeno calor cedido, enquanto no processo 1-4-2, há um pouco mais de calor cedido ao sistema. Isso mostra que diferentes caminhos termodinâmicos podem levar ao mesmo estado final com diferentes trocas de energia.
Os dois processos resultam em variações de trabalho semelhantes (
Resposta
A temperatura e pressão finais após cada processo são:
Recipiente A:
- Após a expansão isotérmica (Processo 1-3):
-
- Após a expansão adiabática (Processo 3-2):
-
Recipiente B:
- Após a expansão adiabática (Processo 1-4):
-
- Após a expansão isotérmica (Processo 4-2):
-
Além disso, as variações de energia interna, trabalho realizado e calor trocado foram calculadas conforme detalhado nos passos anteriores. Ao comparar os processos 1-3-2 com 1-4-2, observamos que ambos resultam em trabalhos semelhantes, mas com diferentes quantidades de calor trocado, destacando que diferentes caminhos termodinâmicos podem levar ao mesmo estado final com diferentes interações de energia.