These matrices are identical except for a small difference in the
position. Moreover, the columns of
and
are nearly linearly dependent. Show that
. Consequently, small changes-perhaps caused by roundingcan give substantially different inverses.
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos duas matrizes
e
que são praticamente iguais, exceto na posição
. Além disso, as colunas de ambas as matrizes são quase linearmente dependentes. Nosso objetivo é mostrar que o inverso de
é aproximadamente
vezes o inverso de
, ou seja,
. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e dependência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar como calcular o inverso de uma matriz
. Para uma matriz geral:
O inverso de
, denotado por
, é dado por:
Aqui,
é o determinante da matriz
. É importante que o determinante seja diferente de zero para que o inverso exista.
Passo 3
Vamos calcular o inverso da matriz
:
Primeiro, encontramos o determinante de
:
Agora, aplicamos a fórmula do inverso:
Simplificando:
Passo 4
Agora, calculamos o inverso da matriz
:
Primeiro, encontramos o determinante de
:
Aplicamos a fórmula do inverso:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos comparar
e
para verificar se
.
Multiplicando
por
:
Comparando com
:
Observamos que
é aproximadamente igual a
, confirmando a relação proposta.
Resposta
Concluímos que
. Isso mostra que pequenas alterações nas entradas das matrizes podem resultar em inversos significativamente diferentes, especialmente quando as colunas das matrizes são quase linearmente dependentes.