These matrices are identical except for a small difference in the position. Moreover, the columns of and are nearly linearly dependent. Show that . Consequently, small changes-perhaps caused by roundingcan give substantially different inverses.

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos duas matrizes e que são praticamente iguais, exceto na posição . Além disso, as colunas de ambas as matrizes são quase linearmente dependentes. Nosso objetivo é mostrar que o inverso de é aproximadamente vezes o inverso de , ou seja, . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar como calcular o inverso de uma matriz . Para uma matriz geral:
O inverso de , denotado por , é dado por:
Aqui, é o determinante da matriz . É importante que o determinante seja diferente de zero para que o inverso exista.

Passo 3

Vamos calcular o inverso da matriz :
Primeiro, encontramos o determinante de :
Agora, aplicamos a fórmula do inverso:
Simplificando:

Passo 4

Agora, calculamos o inverso da matriz :
Primeiro, encontramos o determinante de :
Aplicamos a fórmula do inverso:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos comparar e para verificar se .
Multiplicando por :
Comparando com :
Observamos que é aproximadamente igual a , confirmando a relação proposta.

Resposta

Concluímos que . Isso mostra que pequenas alterações nas entradas das matrizes podem resultar em inversos significativamente diferentes, especialmente quando as colunas das matrizes são quase linearmente dependentes.

Exercícios relacionados

You are given the random vector with mean vector e variance-covariance matrix
Partition as
Let
e considere as combinações lineares e . Find
(g)
Analise os materiais constituintes e as proporções de mistura utilizadas na produção de concretos especiais, destacando as diferenças em relação ao concreto convencional e os efeitos dessas formulações nas propriedades mecânicas, durabilidade e trabalhabilidade do concreto.
(a) Calculate and obtain its eigenvalues and eigenvectors.
Explique o conceito de concreto com fibras, incluindo os tipos de fibras utilizadas, suas propriedades e como elas melhoram as características do concreto em termos de resistência, durabilidade e tenacidade.