A=[ll 4 & 4.001 4.001 & 4.002 ] and B=[ll 4 & 4.001 4.001 & 4.002001 ]
These matrices are identical except for a small difference in the (2,2) position. Moreover, the columns of A( and B) are nearly linearly dependent. Show that A^-1 doteq(-3) B^-1. Consequently, small changes-perhaps caused by roundingcan give substantially different inverses.

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos duas matrizes A e B que são praticamente iguais, exceto na posição (2,2). Além disso, as colunas de ambas as matrizes são quase linearmente dependentes. Nosso objetivo é mostrar que o inverso de A é aproximadamente (-3) vezes o inverso de B, ou seja, A^-1 doteq (-3) B^-1. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar como calcular o inverso de uma matriz 2 times 2. Para uma matriz geral:
M = a & b c & d
O inverso de M, denotado por M^-1, é dado por:
M^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
Aqui, ad - bc é o determinante da matriz M. É importante que o determinante seja diferente de zero para que o inverso exista.

Passo 3

Vamos calcular o inverso da matriz A:
A = 4 & 4.001 4.001 & 4.002
Primeiro, encontramos o determinante de A:
det(A) = (4)(4.002) - (4.001)(4.001) = 16.008 - 16.008001 = -0.000001
Agora, aplicamos a fórmula do inverso:
A^-1 = 1-0.000001 4.002 & -4.001 -4.001 & 4 = 4.002 & -4.001 -4.001 & 4 times (-1000000)
Simplificando:
A^-1 approx -4002000 & 4001000 4001000 & -4000000

Passo 4

Agora, calculamos o inverso da matriz B:
B = 4 & 4.001 4.001 & 4.002001
Primeiro, encontramos o determinante de B:
det(B) = (4)(4.002001) - (4.001)(4.001) = 16.008004 - 16.008001 = 0.000003
Aplicamos a fórmula do inverso:
B^-1 = 10.000003 4.002001 & -4.001 -4.001 & 4 = 4.002001 & -4.001 -4.001 & 4 times 10.000003
Simplificando:
B^-1 approx 1334000.333 & -1333666.667 -1333666.667 & 1333333.333

Passo 5

Agora, vamos comparar A^-1 e B^-1 para verificar se A^-1 doteq (-3) B^-1.
Multiplicando B^-1 por -3:
-3 B^-1 approx -4002001 & 4001000 4001000 & -4000000
Comparando com A^-1:
A^-1 approx -4002000 & 4001000 4001000 & -4000000
Observamos que A^-1 é aproximadamente igual a -3 B^-1, confirmando a relação proposta.

Resposta

Concluímos que A^-1 doteq (-3) B^-1. Isso mostra que pequenas alterações nas entradas das matrizes podem resultar em inversos significativamente diferentes, especialmente quando as colunas das matrizes são quase linearmente dependentes.

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