These matrices are identical except for a small difference in the position. Moreover, the columns of and are nearly linearly dependent. Show that . Consequently, small changes-perhaps caused by roundingcan give substantially different inverses.
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos duas matrizes e que são praticamente iguais, exceto na posição . Além disso, as colunas de ambas as matrizes são quase linearmente dependentes. Nosso objetivo é mostrar que o inverso de é aproximadamente vezes o inverso de , ou seja, . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e dependência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar como calcular o inverso de uma matriz . Para uma matriz geral:
O inverso de , denotado por , é dado por:
Aqui, é o determinante da matriz . É importante que o determinante seja diferente de zero para que o inverso exista.
Passo 3
Vamos calcular o inverso da matriz :
Primeiro, encontramos o determinante de :
Agora, aplicamos a fórmula do inverso:
Simplificando:
Passo 4
Agora, calculamos o inverso da matriz :
Primeiro, encontramos o determinante de :
Aplicamos a fórmula do inverso:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos comparar e para verificar se .
Multiplicando por :
Comparando com :
Observamos que é aproximadamente igual a , confirmando a relação proposta.
Resposta
Concluímos que . Isso mostra que pequenas alterações nas entradas das matrizes podem resultar em inversos significativamente diferentes, especialmente quando as colunas das matrizes são quase linearmente dependentes.