(a) Calculate A^prime A and obtain its eigenvalues and eigenvectors.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o produto da matriz transposta de com , ou seja, . Depois disso, vamos encontrar os valores próprios (ou eigenvalores) e os vetores próprios (ou eigenvetores) dessa nova matriz. Isso tudo tá dentro do assunto de álgebra linear, mais especificamente em matrizes e seus autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar saber como multiplicar matrizes, calcular determinantes e resolver equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz transposta de A = 1 & 1 2 & -2 2 & 2 , que é basicamente trocar as linhas pelas colunas. A matriz A^prime = 1 & 2 & 2 1 & -2 & 2 é:
A transposta de , denotada por , fica:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar A^prime A = 1 & 2 & 2 1 & -2 & 2 1 & 1 2 & -2 2 & 2 = (1)(1) + (2)(2) + (2)(2) & (1)(1) + (2)(-2) + (2)(2) (1)(1) + (-2)(2) + (2)(2) & (1)(1) + (-2)(-2) + (2)(2) por A^prime A = 1 + 4 + 4 & 1 - 4 + 4 1 - 4 + 4 & 1 + 4 + 4 = 9 & 1 1 & 9 . A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira pela coluna da segunda e somando os resultados. Vamos lá:
Calculando cada elemento:
Passo 4
Agora que temos det(A^prime A - lambda I) = 0 , vamos encontrar os seus autovalores. Para isso, precisamos resolver a equação característica: