(a) Calculate and obtain its eigenvalues and eigenvectors.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o produto da matriz transposta de com , ou seja, . Depois disso, vamos encontrar os valores próprios (ou eigenvalores) e os vetores próprios (ou eigenvetores) dessa nova matriz. Isso tudo tá dentro do assunto de álgebra linear, mais especificamente em matrizes e seus autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar saber como multiplicar matrizes, calcular determinantes e resolver equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz transposta de , que é basicamente trocar as linhas pelas colunas. A matriz é:
A transposta de , denotada por , fica:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar por . A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira pela coluna da segunda e somando os resultados. Vamos lá:
Calculando cada elemento:
Passo 4
Agora que temos , vamos encontrar os seus autovalores. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade e são os autovalores. Substituindo:
Resolvendo:
Então, os autovalores são:
Passo 5
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada , resolvemos .
Para :
Isso nos dá a equação , ou seja, . Podemos escolher , então . O autovetor é:
Para :
Isso nos dá a equação , ou seja, . Podemos escolher , então . O autovetor é:
Resposta
A matriz é:
Os autovalores são e , e os autovetores correspondentes são: