(a) Calculate and obtain its eigenvalues and eigenvectors.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o produto da matriz transposta de com , ou seja, . Depois disso, vamos encontrar os valores próprios (ou eigenvalores) e os vetores próprios (ou eigenvetores) dessa nova matriz. Isso tudo tá dentro do assunto de álgebra linear, mais especificamente em matrizes e seus autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar saber como multiplicar matrizes, calcular determinantes e resolver equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz transposta de , que é basicamente trocar as linhas pelas colunas. A matriz é:
A transposta de , denotada por , fica:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar por . A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira pela coluna da segunda e somando os resultados. Vamos lá:
Calculando cada elemento:

Passo 4

Agora que temos , vamos encontrar os seus autovalores. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade e são os autovalores. Substituindo:
Resolvendo:
Então, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada , resolvemos .
Para :
Isso nos dá a equação , ou seja, . Podemos escolher , então . O autovetor é:
Para :
Isso nos dá a equação , ou seja, . Podemos escolher , então . O autovetor é:

Resposta

A matriz é:
Os autovalores são e , e os autovetores correspondentes são:

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These matrices are identical except for a small difference in the position. Moreover, the columns of and are nearly linearly dependent. Show that . Consequently, small changes-perhaps caused by roundingcan give substantially different inverses.
You are given the random vector with mean vector e variance-covariance matrix
Partition as
Let
e considere as combinações lineares e . Find
(g)
Explique o conceito de concreto com fibras, incluindo os tipos de fibras utilizadas, suas propriedades e como elas melhoram as características do concreto em termos de resistência, durabilidade e tenacidade.
Descreva as propriedades do concreto pesado, incluindo sua densidade, resistência mecânica, composição e aplicações típicas na construção civil e em outras indústrias.