A=[rr 1 & 1 2 & -2 2 & 2 ]
(a) Calculate A^prime A and obtain its eigenvalues and eigenvectors.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o produto da matriz transposta de com , ou seja, . Depois disso, vamos encontrar os valores próprios (ou eigenvalores) e os vetores próprios (ou eigenvetores) dessa nova matriz. Isso tudo tá dentro do assunto de álgebra linear, mais especificamente em matrizes e seus autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar saber como multiplicar matrizes, calcular determinantes e resolver equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz transposta de A = 1 & 1 2 & -2 2 & 2 , que é basicamente trocar as linhas pelas colunas. A matriz A^prime = 1 & 2 & 2 1 & -2 & 2 é:
A transposta de , denotada por , fica:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar A^prime A = 1 & 2 & 2 1 & -2 & 2 1 & 1 2 & -2 2 & 2 = (1)(1) + (2)(2) + (2)(2) & (1)(1) + (2)(-2) + (2)(2) (1)(1) + (-2)(2) + (2)(2) & (1)(1) + (-2)(-2) + (2)(2) por A^prime A = 1 + 4 + 4 & 1 - 4 + 4 1 - 4 + 4 & 1 + 4 + 4 = 9 & 1 1 & 9 . A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira pela coluna da segunda e somando os resultados. Vamos lá:
Calculando cada elemento:

Passo 4

Agora que temos det(A^prime A - lambda I) = 0 , vamos encontrar os seus autovalores. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det( 9 - lambda & 1 1 & 9 - lambda ) = (9 - lambda)^2 - 1 = 0
Onde (9 - lambda)^2 = 1 9 - lambda = pm 1 é a matriz identidade e lambda1 = 9 + 1 = 10 lambda2 = 9 - 1 = 8 são os autovalores. Substituindo:
Resolvendo:
Então, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada 9 - 10 & 1 1 & 9 - 10 v1 v2 = -1 & 1 1 & -1 v1 v2 = - v1 + v2 v1 - v2 = 0 0 , resolvemos v1 = 1 1 .
Para 9 - 8 & 1 1 & 9 - 8 v1 v2 = 1 & 1 1 & 1 v1 v2 = v1 + v2 v1 + v2 = 0 0 :
v2 = 1 -1
Isso nos dá a equação , ou seja, . Podemos escolher , então . O autovetor é:
Para :
Isso nos dá a equação , ou seja, . Podemos escolher , então . O autovetor é:

Resposta

A matriz A^prime A = 9 & 1 1 & 9 é:
v1 = 1 1 , v2 = 1 -1
Os autovalores são e , e os autovetores correspondentes são:

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