Suponha que
seja uma sequência monótona tal que
. Esta sequência deve convergir? O que mais pode ser dito sobre o seu limite?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma sequência chamada
que é monótona, ou seja, está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Além disso, todos os termos dessa sequência são menores ou iguais a 5 (
). A pergunta é: essa sequência precisa convergir? E o que mais podemos dizer sobre o seu limite?
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência monótona. Uma sequência é monótona crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, ou monótona decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior. No nosso caso,
é monótona, mas não foi especificado se é crescente ou decrescente.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre sequências limitadas. Uma sequência é limitada se há algum número que serve como limite superior (ou inferior) para todos os seus termos. Aqui, sabemos que todos os termos de
são menores ou iguais a 5, então 5 é um limite superior.
Passo 4
Existe um teorema importante chamado Teorema da Monotonicidade. Ele diz que toda sequência que é monótona e limitada (ou seja, tem um limite superior e/ou inferior) converge. Em outras palavras, ela vai se aproximar de um valor específico à medida que avançamos na sequência.
Passo 5
Aplicando esse teorema ao nosso caso:
é uma sequência monótona e está limitada acima por 5. Portanto, pela Monotonicidade,
deve convergir.
Passo 6
Sobre o limite dessa sequência, já sabemos que todos os termos são menores ou iguais a 5. Então, o limite também será menor ou igual a 5.
Resposta
Sim, a sequência
converge e o seu limite é menor ou igual a 5.
Exercícios relacionados
(a)
Com base nelas, calcule:
(f)
(f)
Uma das mais famosas sequências é a sequência de Fibonacci (1710-1250), definida pela recorrência
, onde
.
(a) Determine os dez primeiros termos desta sequência.
(a) Determine os dez primeiros termos desta sequência.
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(h)
(h)