Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! Aqui temos duas afirmações sobre projeções ortogonais em e precisamos verificar quais delas são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes de projeção, determinantes e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma projeção ortogonal. Uma projeção ortogonal em um espaço euclidiano é uma transformação linear que “projeta” vetores desse espaço em um subespaço específico, mantendo a perpendicularidade. No caso, temos projeções em um plano e em uma reta no .
Passo 3
Vamos analisar a afirmação I:
“Se é uma projeção ortogonal em um plano do , então .”
Sabemos que, para uma projeção ortogonal em um plano, é idempotente () e simétrica (). Além disso, as autovalores de uma projeção ortogonal são 1 e 0, onde 1 corresponde aos vetores no subespaço de projeção e 0 aos vetores no complemento ortogonal.
Então, os autovalores de serão e . Como o determinante de uma matriz é o produto de seus autovalores, teremos:
Portanto, a afirmação I é verdadeira.
Passo 4
Agora, vamos para a afirmação II:
“Se é uma projeção ortogonal em uma reta do , então .”
Novamente, é idempotente e simétrica. Para uma projeção em uma reta, os autovalores de são 1 (para vetores na reta) e 0 (para vetores no plano perpendicular à reta). Os autovalores de serão e .