Localize o centro de massa de um hemisfério maciço homogêneo de raio R e massa M. (Sugestão: Use coordenadas esféricas para integrar, sabendo que o elemento de volume será d V=r^2 sin theta d theta d phi d r e que a base do hemisfério é o plano x y, sendo z=r cos theta)[3 R / 8]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o centro de massa de um hemisfério maciço e homogêneo com raio e massa . A matéria envolvida aqui é a de Centro de Massa e Cálculo de integrais em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos usar as coordenadas esféricas para integrar e calcular a posição do centro de massa, focando principalmente na direção .

Passo 2

Primeiro, como o hemisfério é homogêneo, a densidade rho = M23 pi R^3 é constante. Podemos calcular usando a fórmula da massa para um hemisfério:
Isso porque o volume de um hemisfério é .

Passo 3

Agora, para encontrar o centro de massa, precisamos calcular a coordenada zcm = 1M integralV z , dm . Por simetria, sabemos que e serão zero, então vamos focar em . A posição será dada por:
Onde e .

Passo 4

Substituindo zcm = rhoM integralV z , dV na integral, temos:
zcm = rhoM integral0^2pi integral0^pi2 integral0^R r cos theta cdot r^2 sin theta , dr , dtheta , dphi
Sabendo que , a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em integral0^R r^3 , dr = R^44 :
integral0^pi2 cos theta sin theta , dtheta = 12
Depois, em integral0^2pi dphi = 2pi :
E por último, em :

Passo 6

Multiplicando tudo, a integral total fica:
integralV z , dV = R^44 cdot 12 cdot 2pi = pi R^44

Passo 7

Agora, substituímos na expressão de zcm = rhoM cdot pi R^44 :
zcm = 3M2pi R^3 cdot pi R^44M = 3R8
Lembrando que , temos:

Resposta

O centro de massa do hemisfério está localizado na coordenada .

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