Localize o centro de massa de um hemisfério maciço homogêneo de raio R e massa M. (Sugestão: Use coordenadas esféricas para integrar, sabendo que o elemento de volume será e que a base do hemisfério é o plano , sendo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o centro de massa de um hemisfério maciço e homogêneo com raio e massa . A matéria envolvida aqui é a de Centro de Massa e Cálculo de integrais em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos usar as coordenadas esféricas para integrar e calcular a posição do centro de massa, focando principalmente na direção .

Passo 2

Primeiro, como o hemisfério é homogêneo, a densidade é constante. Podemos calcular usando a fórmula da massa para um hemisfério:
Isso porque o volume de um hemisfério é .

Passo 3

Agora, para encontrar o centro de massa, precisamos calcular a coordenada . Por simetria, sabemos que e serão zero, então vamos focar em . A posição será dada por:
Onde e .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
Sabendo que , a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em :
Depois, em :
E por último, em :

Passo 6

Multiplicando tudo, a integral total fica:

Passo 7

Agora, substituímos na expressão de :
Lembrando que , temos:

Resposta

O centro de massa do hemisfério está localizado na coordenada .

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