Localize o centro de massa de um hemisfério maciço homogêneo de raio R e massa M. (Sugestão: Use coordenadas esféricas para integrar, sabendo que o elemento de volume será
e que a base do hemisfério é o plano
, sendo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o centro de massa de um hemisfério maciço e homogêneo com raio
e massa
. A matéria envolvida aqui é a de Centro de Massa e Cálculo de integrais em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos usar as coordenadas esféricas para integrar e calcular a posição do centro de massa, focando principalmente na direção
.
Passo 2
Primeiro, como o hemisfério é homogêneo, a densidade
é constante. Podemos calcular
usando a fórmula da massa para um hemisfério:
Isso porque o volume de um hemisfério é
.
Passo 3
Agora, para encontrar o centro de massa, precisamos calcular a coordenada
. Por simetria, sabemos que
e
serão zero, então vamos focar em
. A posição
será dada por:
Onde
e
.
Passo 4
Substituindo
na integral, temos:
Sabendo que
, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em
:
Depois, em
:
E por último, em
:
Passo 6
Multiplicando tudo, a integral total fica:
Passo 7
Agora, substituímos na expressão de
:
Lembrando que
, temos:
Resposta
O centro de massa do hemisfério está localizado na coordenada
.