Um carro de 1200 kg move-se para o norte com velocidade constante de 25 m / s. Outro carro de 1500 kg e movendo-se para o oeste, tem velocidade de 10 m / s em t=0 e mantém aceleração constante de 1,0 m / s^2 até t=20 s. Calcule a velocidade e a aceleração do centro de massa do sistema entre 0 e 20 s . [vc m=[(-5 / 9)(10+t) i+(100 / 9) j] m / s]

Passo 1

Então, a gente tem um exercício envolvendo o movimento de dois carros e precisamos calcular a velocidade e a aceleração do centro de massa desse sistema entre 0 e 20 segundos. Vamos trabalhar com conceitos de centro de massa, que é meio que o ponto médio onde a massa do sistema toda parece estar concentrada. Para resolver isso, vamos precisar saber as massas, as velocidades iniciais e como as velocidades mudam com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as massas dos carros:
  • Carro 1:
  • Carro 2:

Passo 3

Agora, vamos analisar os movimentos de cada carro:
  • Carro 1 está se movendo para o norte com velocidade constante de . Como a velocidade é constante, não há aceleração ( ).
  • Carro 2 está se movendo para o oeste. A velocidade inicial é e tem uma aceleração constante de na direção oeste durante os primeiros 20 segundos.

Passo 4

Vamos calcular a velocidade do Carro 2 após 20 segundos usando a fórmula da velocidade com aceleração constante:
v2(t) = v2,0 + a2 t
Substituindo os valores:
v2(20) = 10 , m/s + 1,0 , m/s^2 times 20 , s = 30 , m/s
Então, a velocidade do Carro 2 aos 20 segundos é para o oeste.

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade do centro de massa ( vcm = m1 v1 + m2 v2m1 + m2 ) do sistema. A fórmula para a velocidade do centro de massa é:
vcm = 1200 times 25 j + 1500 times 30 i1200 + 1500 = 30000 j + 45000 i2700
Vamos considerar que o norte está na direção vcm = ( 450002700 i + 300002700 j ) m/s = ( 503 i + 1009 j ) m/s e o oeste na direção .
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar a aceleração do centro de massa ( acm = m1 a1 + m2 a2m1 + m2 ), usamos a fórmula:
acm = 1200 times 0 + 1500 times 1,0 i2700 = 1500 i2700 = 59 i , m/s^2
Sabemos que (Carro 1 não tem aceleração) e para o Carro 2.
Substituindo:

Resposta

A velocidade do centro de massa entre 0 e 20 segundos é:
vcm = ( -59(10 + t) i + 1009 j ) m/s
E a aceleração do centro de massa é:
acm = 59 i , m/s^2

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