Uma locomotiva parte de uma estação A e para numa estação B, distante de 1.200 m de A. O máximo módulo da aceleração que ela consegue manter é de 3 m / s^2, tanto na fase de aceleração como na de retardamento. Sabendo que é proibido trafegar nessa região com velocidade superior a 30 m / s, calcule o mínimo intervalo de tempo possível para ir de A a B, sem problemas com a fiscalização.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma locomotiva que precisa ir da estação A para a B, que está a 1.200 metros de distância. A locomotiva pode acelerar e desacelerar no máximo a 3 m / s^2. Além disso, não pode passar de 30 m / s de velocidade nessa região. Nosso objetivo é descobrir o menor tempo possível para essa viagem sem quebrar as regras.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, que estuda o movimento dos corpos. Precisamos calcular o tempo que a locomotiva leva para acelerar até a velocidade máxima permitida, o tempo que ela passa viajando nessa velocidade constante e o tempo que ela leva para desacelerar até parar na estação B.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quanto tempo a locomotiva leva para acelerar de 0 até 30 m / s com uma aceleração de 3 m / s^2. Usamos a fórmula da velocidade:
v = a times t
Onde:
  • v é a velocidade final,
  • a é a aceleração,
  • t é o tempo.
Rearranjando para encontrar t:
t = va = 303 = 10 s
Então, leva 10 segundos para acelerar até a velocidade máxima.

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância percorrida durante essa aceleração. Usamos a fórmula da distância em movimento uniformemente acelerado:
s = 12 a t^2
Substituindo os valores:
s = 12 times 3 times (10)^2 = 12 times 3 times 100 = 150 m
Então, durante a aceleração, a locomotiva percorre 150 metros.

Passo 4

A desaceleração será simétrica à aceleração. Ou seja, para parar de 30 m / s para 0 m / s com uma desaceleração de 3 m / s^2, também leva 10 segundos e percorre mais 150 metros. Isso porque:
t = va = 303 = 10 s
E a distância:
s = 12 times 3 times (10)^2 = 150 m
Então, totalizando, temos 10 segundos para acelerar e 10 segundos para desacelerar, percorrendo juntos 300 metros.

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância restante que a locomotiva precisa percorrer a velocidade constante de 30 m / s. A distância total é 1.200 metros, e já percorrimos 300 metros durante aceleração e desaceleração. Então:
Distância restante = 1200 - 300 = 900 m â
Para encontrar o tempo que leva para percorrer esses 900 metros a 30 m / s, usamos a fórmula:
t = sv = 90030 = 30 s
Então, leva 30 segundos para percorrer os 900 metros a velocidade constante.

Resposta

O mínimo intervalo de tempo possível para ir de A a B, sem problemas com a fiscalização, é de 50 segundos.

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