Uma loja de equipamentos recebeu 20 rádios de mesa com conexão para iPod e iPhone. Doze deles têm duas entradas (e podem acomodar ambos os dispositivos) e os outros 8 têm apenas uma entrada. Suponha que 6 dos 20 rádio sejam selecionados ao acaso para ser armazenados na prateleira onde os rádios ficam expostos e o restante é colocado no depósito. Considere X= o número de rádios que possuem duas entradas colocadas sobre a prateleira de exibição. Calcule P(X=2), P(X <= 2).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma loja que recebeu 20 rádios: 12 desses rádios têm duas entradas, então eles podem conectar tanto um iPod quanto um iPhone ao mesmo tempo. Os outros 8 rádios têm apenas uma entrada. A loja vai escolher 6 rádios de maneira aleatória para colocar na prateleira de exposição, e o restante vai para o depósito. A gente quer descobrir duas probabilidades:
  1. A probabilidade de exatamente 2 desses 6 rádios na prateleira terem duas entradas ( P(X=2)).
  2. A probabilidade de no máximo 2 desses rádios na prateleira terem duas entradas ( P(X <= 2)).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, especialmente a Distribuição Hipergeométrica, que é adequada para situações de amostragem sem reposição, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Distribuição Hipergeométrica. Ela é usada quando queremos calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em uma amostra sem reposição de uma população finita que contém um número fixo de “sucessos” e “falhas”.
No nosso caso:
  • População total (N): 20 rádios.
  • Número de sucessos na população (K): 12 rádios com duas entradas.
  • Tamanho da amostra (n): 6 rádios escolhidos para a prateleira.
  • Número de sucessos na amostra (k): Vamos calcular para k = 2 e para k <= 2.
A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
P(X = k) = dbinomKk dbinomN - Kn - kdbinomNn
Onde:
  • dbinomKk é o número de maneiras de escolher k sucessos.
  • dbinomN - Kn - k é o número de maneiras de escolher os demais itens que não são sucessos.
  • dbinomNn é o número total de maneiras de escolher n itens da população.

Passo 3

Vamos calcular P(X = 2) usando a fórmula acima.
Substituindo os valores:
P(X = 2) = dbinom122 dbinom84dbinom206
Agora, vamos calcular cada uma dessas combinações:
  1. dbinom122: Número de maneiras de escolher 2 rádios com duas entradas de um total de 12.
  2. dbinom84: Número de maneiras de escolher 4 rádios com uma entrada de um total de 8.
  3. dbinom206: Número total de maneiras de escolher 6 rádios de uma população de 20.
Calculando cada termo:
dbinom122 = 12!2!(12-2)! = 12 times 112 times 1 = 66
dbinom84 = 8!4!(8-4)! = 8 times 7 times 6 times 54 times 3 times 2 times 1 = 70
dbinom206 = 20!6!(20-6)! = 20 times 19 times 18 times 17 times 16 times 156 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 38.760
Agora, substituindo de volta na fórmula:
P(X = 2) = 66 times 7038.760 = 4.62038.760 approx 0,1192
Então, a probabilidade de exatamente 2 rádios com duas entradas serem colocados na prateleira é de aproximadamente 11,92%.

Passo 4

Agora, vamos calcular P(X <= 2), ou seja, a probabilidade de ter no máximo 2 rádios com duas entradas na prateleira. Isso inclui os casos em que X = 0, X = 1 e X = 2.
Usando a mesma fórmula da Distribuição Hipergeométrica, vamos calcular cada uma dessas probabilidades e depois somá-las.
Para X = 0:
P(X = 0) = dbinom120 dbinom86dbinom206
Calculando as combinações:
dbinom120 = 1
dbinom86 = dbinom82 = 8 times 72 times 1 = 28
P(X = 0) = 1 times 2838.760 approx 0,000722
Para X = 1:
P(X = 1) = dbinom121 dbinom85dbinom206
Calculando as combinações:
dbinom121 = 12
dbinom85 = dbinom83 = 8 times 7 times 63 times 2 times 1 = 56
P(X = 1) = 12 times 5638.760 = 67238.760 approx 0,1737
Já tínhamos calculado P(X = 2) approx 0,1192
Agora, somando todas as probabilidades:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) approx 0,000722 + 0,1737 + 0,1192 approx 0,2936
Então, a probabilidade de no máximo 2 rádios com duas entradas serem colocados na prateleira é de aproximadamente 29,36%.

Resposta

P(X=2) approx 0,!1192 e P(X <= 2) approx 0,!2936.

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