Uma loja de equipamentos recebeu 20 rádios de mesa com conexão para iPod e iPhone. Doze deles têm duas entradas (e podem acomodar ambos os dispositivos) e os outros 8 têm apenas uma entrada. Suponha que 6 dos 20 rádio sejam selecionados ao acaso para ser armazenados na prateleira onde os rádios ficam expostos e o restante é colocado no depósito. Considere
o número de rádios que possuem duas entradas colocadas sobre a prateleira de exibição. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma loja que recebeu 20 rádios: 12 desses rádios têm duas entradas, então eles podem conectar tanto um iPod quanto um iPhone ao mesmo tempo. Os outros 8 rádios têm apenas uma entrada. A loja vai escolher 6 rádios de maneira aleatória para colocar na prateleira de exposição, e o restante vai para o depósito. A gente quer descobrir duas probabilidades:
- A probabilidade de exatamente 2 desses 6 rádios na prateleira terem duas entradas (
). - A probabilidade de no máximo 2 desses rádios na prateleira terem duas entradas (
).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, especialmente a Distribuição Hipergeométrica, que é adequada para situações de amostragem sem reposição, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Distribuição Hipergeométrica. Ela é usada quando queremos calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em uma amostra sem reposição de uma população finita que contém um número fixo de “sucessos” e “falhas”.
No nosso caso:
- População total (N): 20 rádios.
- Número de sucessos na população (K): 12 rádios com duas entradas.
- Tamanho da amostra (n): 6 rádios escolhidos para a prateleira.
- Número de sucessos na amostra (k): Vamos calcular para
e para .
A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
Onde:
-
é o número de maneiras de escolher sucessos. -
é o número de maneiras de escolher os demais itens que não são sucessos. -
é o número total de maneiras de escolher itens da população.
Passo 3
Vamos calcular
usando a fórmula acima.
Substituindo os valores:
Agora, vamos calcular cada uma dessas combinações:
-
: Número de maneiras de escolher 2 rádios com duas entradas de um total de 12. -
: Número de maneiras de escolher 4 rádios com uma entrada de um total de 8. -
: Número total de maneiras de escolher 6 rádios de uma população de 20.
Calculando cada termo:
Agora, substituindo de volta na fórmula:
Então, a probabilidade de exatamente 2 rádios com duas entradas serem colocados na prateleira é de aproximadamente 11,92%.
Passo 4
Agora, vamos calcular
, ou seja, a probabilidade de ter no máximo 2 rádios com duas entradas na prateleira. Isso inclui os casos em que
,
e
.
Usando a mesma fórmula da Distribuição Hipergeométrica, vamos calcular cada uma dessas probabilidades e depois somá-las.
Para
:
Calculando as combinações:
Para
:
Calculando as combinações:
Já tínhamos calculado
Agora, somando todas as probabilidades:
Então, a probabilidade de no máximo 2 rádios com duas entradas serem colocados na prateleira é de aproximadamente 29,36%.