Uma loja de equipamentos recebeu 20 rádios de mesa com conexão para iPod e iPhone. Doze deles têm duas entradas (e podem acomodar ambos os dispositivos) e os outros 8 têm apenas uma entrada. Suponha que 6 dos 20 rádio sejam selecionados ao acaso para ser armazenados na prateleira onde os rádios ficam expostos e o restante é colocado no depósito. Considere o número de rádios que possuem duas entradas colocadas sobre a prateleira de exibição. Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma loja que recebeu 20 rádios: 12 desses rádios têm duas entradas, então eles podem conectar tanto um iPod quanto um iPhone ao mesmo tempo. Os outros 8 rádios têm apenas uma entrada. A loja vai escolher 6 rádios de maneira aleatória para colocar na prateleira de exposição, e o restante vai para o depósito. A gente quer descobrir duas probabilidades:
  1. A probabilidade de exatamente 2 desses 6 rádios na prateleira terem duas entradas ( ).
  2. A probabilidade de no máximo 2 desses rádios na prateleira terem duas entradas ( ).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, especialmente a Distribuição Hipergeométrica, que é adequada para situações de amostragem sem reposição, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Distribuição Hipergeométrica. Ela é usada quando queremos calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em uma amostra sem reposição de uma população finita que contém um número fixo de “sucessos” e “falhas”.
No nosso caso:
  • População total (N): 20 rádios.
  • Número de sucessos na população (K): 12 rádios com duas entradas.
  • Tamanho da amostra (n): 6 rádios escolhidos para a prateleira.
  • Número de sucessos na amostra (k): Vamos calcular para e para .
A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
Onde:
  • é o número de maneiras de escolher sucessos.
  • é o número de maneiras de escolher os demais itens que não são sucessos.
  • é o número total de maneiras de escolher itens da população.

Passo 3

Vamos calcular usando a fórmula acima.
Substituindo os valores:
Agora, vamos calcular cada uma dessas combinações:
  1. : Número de maneiras de escolher 2 rádios com duas entradas de um total de 12.
  2. : Número de maneiras de escolher 4 rádios com uma entrada de um total de 8.
  3. : Número total de maneiras de escolher 6 rádios de uma população de 20.
Calculando cada termo:
Agora, substituindo de volta na fórmula:
Então, a probabilidade de exatamente 2 rádios com duas entradas serem colocados na prateleira é de aproximadamente 11,92%.

Passo 4

Agora, vamos calcular , ou seja, a probabilidade de ter no máximo 2 rádios com duas entradas na prateleira. Isso inclui os casos em que , e .
Usando a mesma fórmula da Distribuição Hipergeométrica, vamos calcular cada uma dessas probabilidades e depois somá-las.
Para :
Calculando as combinações:
Para :
Calculando as combinações:
Já tínhamos calculado
Agora, somando todas as probabilidades:
Então, a probabilidade de no máximo 2 rádios com duas entradas serem colocados na prateleira é de aproximadamente 29,36%.

Resposta

e .

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&
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\hline
Tipo de
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&
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