Uma variável aleatória tem a função densidade , onde .
© Encontre a função de distribuição acumulada para a variável aleatória .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória com a função densidade de probabilidade dada por para todo número real . O que a gente precisa encontrar é a função de distribuição acumulada dessa variável. Para isso, vamos precisar entender como transformar a função densidade em função de distribuição acumulada, o que envolve cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir o valor da constante . Sabemos que a integral da função densidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Então, vamos calcular:
Substituindo :

Passo 3

A integral é uma integral bem conhecida que resulta em . Então temos:

Passo 4

Agora que sabemos que , podemos reescrever a função densidade:

Passo 5

A próxima etapa é encontrar a função de distribuição acumulada . Ela é definida como a integral da função densidade desde menos infinito até :

Passo 6

Sabemos que a integral de é . Então, calculando a integral:

Passo 7

Sabemos que . Substituindo:

Passo 8

Simplificando a expressão:

Resposta

A função de distribuição acumulada de é:

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Uma variável aleatória tem a função densidade , onde .
(b) Encontre a probabilidade de que esteja entre e 1 .
Uma variável aleatória tem a função densidade , onde .
(a) Encontre o valor da constante .
Uma loja de equipamentos recebeu 20 rádios de mesa com conexão para iPod e iPhone. Doze deles têm duas entradas (e podem acomodar ambos os dispositivos) e os outros 8 têm apenas uma entrada. Suponha que 6 dos 20 rádios sejam selecionados ao acaso para ser armazenados na prateleira onde os rádios ficam expostos e o restante é colocado no depósito. Considere o número de rádios que possuem duas entradas colocadas sobre a prateleira de exibição.
(a) Calcule .
(b) Calcule o valor médio e a variância.
A função de distribuição para uma variável aleatória é:
(b) Encontre a probabilidade de que .