Uma variável aleatória X tem a função densidade f(x)=cx^2+1, onde x in R.
© Encontre a função de distribuição acumulada FX(x) para a variável aleatória X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória com a função densidade de probabilidade dada por para todo número real . O que a gente precisa encontrar é a função de distribuição acumulada dessa variável. Para isso, vamos precisar entender como transformar a função densidade em função de distribuição acumulada, o que envolve cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir o valor da constante integral-infty^infty f(x) , dx = 1 . Sabemos que a integral da função densidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Então, vamos calcular:
integral-infty^infty cx^2 + 1 , dx = 1
Substituindo :

Passo 3

A integral c cdot pi = 1 Rightarrow c = 1pi é uma integral bem conhecida que resulta em . Então temos:

Passo 4

Agora que sabemos que f(x) = 1pi (x^2 + 1) , podemos reescrever a função densidade:

Passo 5

A próxima etapa é encontrar a função de distribuição acumulada FX(x) = integral-infty^x f(t) , dt = integral-infty^x 1pi (t^2 + 1) , dt . Ela é definida como a integral da função densidade desde menos infinito até :

Passo 6

Sabemos que a integral de FX(x) = 1pi [ arctan(t) ]-infty^x = 1pi ( arctan(x) - arctan(-infty) ) é . Então, calculando a integral:

Passo 7

Sabemos que FX(x) = 1pi ( arctan(x) + pi2 ) . Substituindo:

Passo 8

Simplificando a expressão:
FX(x) = 12 + 1pi arctan(x)

Resposta

A função de distribuição acumulada de FX(x) = 12 + 1pi arctan(x) é:

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