Uma variável aleatória
tem a função densidade
, onde
.
© Encontre a função de distribuição acumulada
para a variável aleatória
.
© Encontre a função de distribuição acumulada
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória
com a função densidade de probabilidade dada por
para todo número real
. O que a gente precisa encontrar é a função de distribuição acumulada
dessa variável. Para isso, vamos precisar entender como transformar a função densidade em função de distribuição acumulada, o que envolve cálculo de integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir o valor da constante
. Sabemos que a integral da função densidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Então, vamos calcular:
Substituindo
:
Passo 3
A integral
é uma integral bem conhecida que resulta em
. Então temos:
Passo 4
Agora que sabemos que
, podemos reescrever a função densidade:
Passo 5
A próxima etapa é encontrar a função de distribuição acumulada
. Ela é definida como a integral da função densidade desde menos infinito até
:
Passo 6
Sabemos que a integral de
é
. Então, calculando a integral:
Passo 7
Sabemos que
. Substituindo:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Resposta
A função de distribuição acumulada de
é: