Uma moeda é lançada 200 vezes. O jogador ganha 20 reais se o número de caras for 110 ou mais, e perde 10 reais se o número de caras for 90 ou menos. Nos outros casos, o jogador não ganha nem perde nada. Determine a média de ganhos do jogador neste jogo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre lançamentos de uma moeda 200 vezes e os ganhos do jogador baseados no número de caras que aparecem. A matéria que vamos usar aqui é probabilidade, especificamente a distribuição binomial e valor esperado. Para resolver, vamos calcular as probabilidades dos diferentes resultados e então determinar a média dos ganhos do jogador.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições:
- O jogador ganha 20 reais se o número de caras for 110 ou mais.
- Ele perde 10 reais se o número de caras for 90 ou menos.
- Se o número de caras for entre 91 e 109, não ganha nem perde nada.
Nosso objetivo é calcular a média dos ganhos, que é o valor esperado.
Passo 3
Vamos modelar isso usando a distribuição binomial. Quando lancemos uma moeda justa (que é o caso presumido), a probabilidade de obter cara em cada lançamento é $ p = 0,5 $.
A distribuição binomial para $ n = 200 $ lançamentos é dada por:
onde $ k $ é o número de caras.
Passo 4
Calcular exatamente as probabilidades para $ k \geq 110 $ e $ k \leq 90 $ pode ser complicado pela quantidade de cálculos. Então, vamos usar a aproximação normal para facilitar.
Primeiro, calculemos a média $ \mu $ e o desvio padrão $ \sigma $ da distribuição binomial:
Passo 5
Agora, vamos padronizar os valores de 110 e 90 para encontrar as probabilidades usando a distribuição normal padrão.
Para $ k = 110 $:
Para $ k = 90 $:
Passo 6
Usando a tabela da distribuição normal padrão (ou uma calculadora), encontraremos as probabilidades correspondentes a esses valores de $ z $:
- $ P(Z \geq 1,414) $ ≈ 0,0784
- $ P(Z \leq -1,414) $ ≈ 0,0784
Portanto, a probabilidade de ganhar 20 reais é aproximadamente 7,84%, e a probabilidade de perder 10 reais também é aproximadamente 7,84%.
Passo 7
Agora, calculamos o valor esperado (média dos ganhos):
No nosso caso:
Passo 8
Vamos calcular cada parte:
Somando tudo:
Resposta
A média de ganhos do jogador neste jogo é de aproximadamente 0,78 reais.