Uma moeda é lançada 200 vezes. O jogador ganha 20 reais se o número de caras for 110 ou mais, e perde 10 reais se o número de caras for 90 ou menos. Nos outros casos, o jogador não ganha nem perde nada. Determine a média de ganhos do jogador neste jogo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre lançamentos de uma moeda 200 vezes e os ganhos do jogador baseados no número de caras que aparecem. A matéria que vamos usar aqui é probabilidade, especificamente a distribuição binomial e valor esperado. Para resolver, vamos calcular as probabilidades dos diferentes resultados e então determinar a média dos ganhos do jogador.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições:
  • O jogador ganha 20 reais se o número de caras for 110 ou mais.
  • Ele perde 10 reais se o número de caras for 90 ou menos.
  • Se o número de caras for entre 91 e 109, não ganha nem perde nada.
Nosso objetivo é calcular a média dos ganhos, que é o valor esperado.

Passo 3

Vamos modelar isso usando a distribuição binomial. Quando lancemos uma moeda justa (que é o caso presumido), a probabilidade de obter cara em cada lançamento é $ p = 0,5 $.
A distribuição binomial para $ n = 200 $ lançamentos é dada por:
p = 0,5
onde $ k $ é o número de caras.

Passo 4

Calcular exatamente as probabilidades para $ k \geq 110 $ e $ k \leq 90 $ pode ser complicado pela quantidade de cálculos. Então, vamos usar a aproximação normal para facilitar.
Primeiro, calculemos a média $ \mu $ e o desvio padrão $ \sigma $ da distribuição binomial:
k >= 110
k <= 90

Passo 5

Agora, vamos padronizar os valores de 110 e 90 para encontrar as probabilidades usando a distribuição normal padrão.
Para $ k = 110 $:
k = 110
Para $ k = 90 $:
z = 110 - 1007,07 approx 107,07 approx 1,414

Passo 6

Usando a tabela da distribuição normal padrão (ou uma calculadora), encontraremos as probabilidades correspondentes a esses valores de $ z $:
  • $ P(Z \geq 1,414) $ ≈ 0,0784
  • $ P(Z \leq -1,414) $ ≈ 0,0784
Portanto, a probabilidade de ganhar 20 reais é aproximadamente 7,84%, e a probabilidade de perder 10 reais também é aproximadamente 7,84%.

Passo 7

Agora, calculamos o valor esperado (média dos ganhos):
E = (Valor cdot Probabilidade) + (Valor cdot Probabilidade) + dots
No nosso caso:
E = (20 reais cdot 0,0784) + (-10 reais cdot 0,0784) + (0 reais cdot 0,8432)

Passo 8

Vamos calcular cada parte:
20 cdot 0,0784 = 1,568 reais
-10 cdot 0,0784 = -0,784 reais
0 cdot 0,8432 = 0 reais
Somando tudo:
E = 1,568 - 0,784 + 0 = 0,784 reais

Resposta

A média de ganhos do jogador neste jogo é de aproximadamente 0,78 reais.

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