Seja (X1, X2, ldots, Xn) uma amostra aleatória simples de uma população com média mu e variância sigma^2. Mostre que para a variável aleatória Z=(barX-mu)raiznsigma, E(Z)=0 e V(Z)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, dada uma amostra aleatória simples (X1, X2, ldots, Xn) de uma população com média mu e variância sigma^2, a variável aleatória Z = (barX - mu)sigmaraizn tem valor esperado E(Z) = 0 e variância V(Z) = 1. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de média amostral, valor esperado e variância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a média amostral barX é calculada como barX = 1n sumi=1^n Xi. O valor esperado da média amostral, E(barX), é igual à média da população mu.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado de Z:
E(Z) = E(barX - musigmaraizn) = E(barX - mu)sigmaraizn
Como E(barX) = mu, temos:
E(barX - mu) = E(barX) - mu = mu - mu = 0
Portanto:
E(Z) = 0sigmaraizn = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância de Z:
V(Z) = V(barX - musigmaraizn) = (1sigmaraizn)^2 V(barX - mu)
Sabemos que V(barX) = sigma^2n e como V(mu) = 0, então:
V(barX - mu) = V(barX) = sigma^2n
Substituindo na equação de V(Z):
V(Z) = (raiznsigma)^2 cdot sigma^2n = nsigma^2 cdot sigma^2n = 1

Resposta

Então, mostramos que E(Z) = 0 e V(Z) = 1, conforme solicitado.

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