Seja
uma amostra aleatória simples de uma população com média
e variância
. Mostre que para a variável aleatória
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, dada uma amostra aleatória simples
de uma população com média
e variância
, a variável aleatória
tem valor esperado
e variância
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de média amostral, valor esperado e variância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a média amostral
é calculada como
. O valor esperado da média amostral,
, é igual à média da população
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor esperado de
:
Como
, temos:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância de
:
Sabemos que
e como
, então:
Substituindo na equação de
:
Resposta
Então, mostramos que
e
, conforme solicitado.