Uma loja de roupas vende três tipos de camisetas aos preços de 12, 15 e 20 reais. Baseado nos registros de vendas, pôde-se estabelecer as proporções de vendas de cada tipo:
X=x 12 15 20
P(X=x) 0,5 0,2 0,3
d) Ao longo de uma semana, 20 consumidores adquiriram, independentemente, camisetas de um desses tipos. Obtenha a média e a variância da soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma loja que vende três tipos de camisetas por R$12, R$15 e R$20. As probabilidades de venda são 50%, 20% e 30%, respectivamente. O que precisamos calcular é a média e a variância da soma que 20 consumidores gastam em camisetas ao longo de uma semana. Para isso, vamos usar conceitos de esperança matemática (média) e variância de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a esperança matemática (ou média) do valor de uma única camiseta vendida. A esperança é basicamente a média ponderada dos possíveis valores que a variável pode assumir, multiplicados pelas suas respectivas probabilidades.
E(X) = sumx x cdot P(X=x)
Substituindo os valores:
E(X) = 12 cdot 0,5 + 15 cdot 0,2 + 20 cdot 0,3
E(X) = 6 + 3 + 6 = 15
Então, a média de uma camiseta vendida é R$15.

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância de uma única camiseta. A variância nos diz o quanto os valores estão espalhados em relação à média. A fórmula para a variância é:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Primeiro, calculamos $ E(X^2) $:
E(X^2)
E(X^2) = 12^2 cdot 0,5 + 15^2 cdot 0,2 + 20^2 cdot 0,3
E(X^2) = 144 cdot 0,5 + 225 cdot 0,2 + 400 cdot 0,3
Agora, substituímos na fórmula da variância:
E(X^2) = 72 + 45 + 120 = 237
Então, a variância de uma camiseta vendida é 12.

Passo 4

Como os 20 consumidores compraram independentemente, a média da soma é simplesmente 20 vezes a média de uma única compra:
E(S) = 20 cdot E(X) = 20 cdot 15 = 300
E a variância da soma, pela propriedade de variância de variáveis independentes, é 20 vezes a variância de uma única compra:
Var(S) = 20 cdot Var(X) = 20 cdot 12 = 240

Resposta

A média da soma é R$300 e a variância da soma é 240.

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