Uma loja de roupas vende três tipos de camisetas aos preços de 12, 15 e 20 reais. Baseado nos registros de vendas, pôde-se estabelecer as proporções de vendas de cada tipo:
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12 | 15 | 20 |
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0,5 | 0,2 | 0,3 |
d) Ao longo de uma semana, 20 consumidores adquiriram, independentemente, camisetas de um desses tipos. Obtenha a média e a variância da soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma loja que vende três tipos de camisetas por R$12, R$15 e R$20. As probabilidades de venda são 50%, 20% e 30%, respectivamente. O que precisamos calcular é a média e a variância da soma que 20 consumidores gastam em camisetas ao longo de uma semana. Para isso, vamos usar conceitos de esperança matemática (média) e variância de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a esperança matemática (ou média) do valor de uma única camiseta vendida. A esperança é basicamente a média ponderada dos possíveis valores que a variável pode assumir, multiplicados pelas suas respectivas probabilidades.
Substituindo os valores:
Então, a média de uma camiseta vendida é R$15.
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância de uma única camiseta. A variância nos diz o quanto os valores estão espalhados em relação à média. A fórmula para a variância é:
Primeiro, calculamos $ E(X^2) $:
Agora, substituímos na fórmula da variância:
Então, a variância de uma camiseta vendida é 12.
Passo 4
Como os 20 consumidores compraram independentemente, a média da soma é simplesmente 20 vezes a média de uma única compra:
E a variância da soma, pela propriedade de variância de variáveis independentes, é 20 vezes a variância de uma única compra:
Resposta
A média da soma é R$300 e a variância da soma é 240.