Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes tendo, cada uma delas, a seguinte distribuição
X 1 2 3 4
p(x) 0,2 0,3 0,4 0,1
c) Obtenha a média e a variância da distribuição de barX e relacione os resultados com a distribuição de X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias, $ X_1 $ e $ X_2 $, que são independentes e seguem a mesma distribuição de probabilidades:
X1
A questão pede para a gente encontrar a média e a variância da distribuição de $ \bar{X} $ (que é a média das duas variáveis $ X_1 $ e $ X_2 $) e comparar esses resultados com a distribuição original de $ X $. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a média e a variância de variáveis aleatórias independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média de uma única variável $ X $. A média, ou valor esperado $ E(X) $, é a soma de cada valor possível de $ X $ multiplicado pela sua probabilidade:
X
E(X)
Então, a média de $ X $ é 2,4.

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância de $ X $. A variância $ Var(X) $ mede o quanto os valores de $ X $ estão espalhados em relação à média. Para calcular, usamos a fórmula:
X
Primeiro, vamos encontrar $ E(X^2) $:
Var(X)
X
Agora, calculamos a variância:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Então, a variância de $ X $ é 0,84.

Passo 4

Vamos agora encontrar a média $ E(\bar{X}) $ da distribuição de $ \bar{X} $, que é a média das duas variáveis $ X_1 $ e $ X_2 $:
E(barX)
Como $ X_1 $ e $ X_2 $ são independentes e têm a mesma distribuição, a média de $ \bar{X} $ é simplesmente a média de $ X $:
barX
Então, a média de $ \bar{X} $ também é 2,4, igual à média de $ X $.

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância de $ \bar{X} $. Para variáveis independentes, a variância da soma é a soma das variâncias. Como estamos dividindo por 2, precisamos ajustar a variância:
barX
Então, a variância de $ \bar{X} $ é 0,42.

Resposta

A média da distribuição de $ \bar{X} $ é 2,4 e a variância é 0,42. Comparando com a distribuição original de $ X $, observamos que a média se mantém a mesma, enquanto a variância da média $ \bar{X} $ é a metade da variância original de $ X $. Isso acontece porque, ao fazer a média de duas variáveis independentes, a variância é dividida pelo número de variáveis, neste caso, por 2.

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