Usuários de uma rede de transmissão de energia elétrica têm reclamado da alta variação na tensão (desvio padrão de 12 V ). A empresa encarregada da transmissão de energia elétrica na região instalou novos transformadores. O desvio padrão calculado sobre 30 observações independentes foi de 8 V e a distribuição de frequências dos valores da amostra sugere uma distribuição normal. Há evidência de redução na variação da tensão? Use alpha=5 %.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre a variação na tensão elétrica que os usuários têm percebido. Inicialmente, a variação (desvio padrão) era de 12 V. A empresa instalou novos transformadores e, com 30 observações, o desvio padrão caiu para 8 V. Nosso objetivo aqui é verificar se essa redução na variação é realmente significativa, ou seja, se há evidência estatística de que a variação diminuiu. Para isso, vamos usar o teste de hipóteses para a variância, assumindo que os dados seguem uma distribuição normal. Vamos precisar do desvio padrão original (12 V), do desvio padrão da amostra (8 V), do número de observações (30) e do nível de significância (α = 5%).

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses do nosso teste. A hipótese nula (H₀) é que a variação da tensão não diminuiu, ou seja, o desvio padrão continua sendo 12 V. A hipótese alternativa (H₁) é que a variação diminuiu, ou seja, o desvio padrão é menor que 12 V.
Matematicamente:
  • H₀: σ = 12 V
  • H₁: σ < 12 V

Passo 3

Como estamos lidando com desvios padrões e variâncias, e assumimos que a distribuição é normal, vamos usar o teste qui-quadrado (χ²). A fórmula do teste é:
chi^2 = (n - 1)s^2sigma0^2
Onde:
  • $ n $ é o número de observações (30)
  • $ s $ é o desvio padrão da amostra (8 V)
  • $ \sigma_0 $ é o desvio padrão sob hipótese nula (12 V)

Passo 4

Vamos calcular o valor de χ² usando os valores fornecidos:
chi^2 = (30 - 1) times 8^212^2 = 29 times 64144 = 1856144 approx 12.89

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição qui-quadrado para o nosso teste. Como a hipótese alternativa é que a variância diminuiu, trata-se de um teste à esquerda. Com α = 5% e graus de liberdade $ df = n - 1 = 29 $, consultamos a tabela qui-quadrado ou usamos uma calculadora estatística para encontrar o valor crítico.
Para $ df = 29 $ e α = 5%, o valor crítico aproximado é 16.047.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de χ² com o valor crítico:
  • Se $ \chi^2 $ calculado < χ² crítico, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se $ \chi^2 $ calculado ≥ χ² crítico, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso:
12.89 < 16.047

Resposta

Como o valor calculado de χ² (12.89) é menor que o valor crítico (16.047), rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidência estatística, ao nível de 5%, de que a variação da tensão diminuiu após a instalação dos novos transformadores.

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