Um sistema de sorteios vende três tipos de cartões que pagam 5, 10 ou 20 reais. Considerando que a chance de ganhar 5,10 ou 20 reais é de
e 0,02 , respectivamente, como mostra a tabela abaixo:
Valor pago
|
0 | 5 | 10 | 20 |
---|---|---|---|---|
|
0,05 | 0,03 | 0,02 |
b) Obtenha a média e a variância do valor recebido por um jogador;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre um sistema de sorteios que vende cartões que podem te pagar 5, 10 ou 20 reais, com certas probabilidades. Precisamos calcular dois valores importantes: a média (ou valor esperado) e a variância do que um jogador pode receber. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística básicos, como calcular a média ponderada e a variância de uma variável aleatória.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média do valor que um jogador pode receber. A média, ou valor esperado $ E[X] $, é uma forma de entender, em média, quanto alguém ganha por jogada. Para calcular isso, multiplicamos cada valor possível pelo sua probabilidade e somamos tudo.
Temos os seguintes valores e probabilidades:
- Receber 0 reais com probabilidade $ P(X=0) = 0,90 $ (já que as outras probabilidades somam 0,05 + 0,03 + 0,02 = 0,10)
- Receber 5 reais com probabilidade $ P(X=5) = 0,05 $
- Receber 10 reais com probabilidade $ P(X=10) = 0,03 $
- Receber 20 reais com probabilidade $ P(X=20) = 0,02 $
Então, a média é calculada assim:
Vamos calcular cada parte:
Agora, somamos tudo:
Então, a média é R$0,95 por jogada.
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância do valor recebido, que nos diz o quanto os resultados podem variar em relação à média. A variância $ Var(X) $ é calculada usando a fórmula:
Primeiro, precisamos calcular $ E[X^2] $, que é a média dos quadrados dos valores. Vamos fazer isso:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Agora, já temos $ E[X] = 0,95 $ e $ E[X^2] = 12,25 $. Vamos calcular a variância:
Então, a variância é aproximadamente 11,35.
Resposta
A média do valor recebido por um jogador é de R$0,95 e a variância é aproximadamente 11,35.