Um sistema de sorteios vende três tipos de cartões que pagam 5, 10 ou 20 reais. Considerando que a chance de ganhar 5,10 ou 20 reais é de 0,05,0,03 e 0,02 , respectivamente, como mostra a tabela abaixo:
Valor pago (X=x) 0 5 10 20
P(X=x) 0,05 0,03 0,02
b) Obtenha a média e a variância do valor recebido por um jogador;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre um sistema de sorteios que vende cartões que podem te pagar 5, 10 ou 20 reais, com certas probabilidades. Precisamos calcular dois valores importantes: a média (ou valor esperado) e a variância do que um jogador pode receber. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística básicos, como calcular a média ponderada e a variância de uma variável aleatória.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média do valor que um jogador pode receber. A média, ou valor esperado $ E[X] $, é uma forma de entender, em média, quanto alguém ganha por jogada. Para calcular isso, multiplicamos cada valor possível pelo sua probabilidade e somamos tudo.
Temos os seguintes valores e probabilidades:
  • Receber 0 reais com probabilidade $ P(X=0) = 0,90 $ (já que as outras probabilidades somam 0,05 + 0,03 + 0,02 = 0,10)
  • Receber 5 reais com probabilidade $ P(X=5) = 0,05 $
  • Receber 10 reais com probabilidade $ P(X=10) = 0,03 $
  • Receber 20 reais com probabilidade $ P(X=20) = 0,02 $
Então, a média é calculada assim:
E[X]
Vamos calcular cada parte:
P(X=0) = 0,90
P(X=5) = 0,05
P(X=10) = 0,03
P(X=20) = 0,02
Agora, somamos tudo:
E[X] = (0 times 0,90) + (5 times 0,05) + (10 times 0,03) + (20 times 0,02)
Então, a média é R$0,95 por jogada.

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância do valor recebido, que nos diz o quanto os resultados podem variar em relação à média. A variância $ Var(X) $ é calculada usando a fórmula:
Var(X)
Primeiro, precisamos calcular $ E[X^2] $, que é a média dos quadrados dos valores. Vamos fazer isso:
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2
Calculando cada parte:
E[X^2]
E[X^2] = (0^2 times 0,90) + (5^2 times 0,05) + (10^2 times 0,03) + (20^2 times 0,02)
0^2 times 0,90 = 0
5^2 times 0,05 = 25 times 0,05 = 1,25
Somando tudo:
10^2 times 0,03 = 100 times 0,03 = 3,00
Agora, já temos $ E[X] = 0,95 $ e $ E[X^2] = 12,25 $. Vamos calcular a variância:
20^2 times 0,02 = 400 times 0,02 = 8,00
Então, a variância é aproximadamente 11,35.

Resposta

A média do valor recebido por um jogador é de R$0,95 e a variância é aproximadamente 11,35.

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