Um lojista mantém extensos registros das vendas diárias de um certo aparelho. O quadro a seguir dá a distribuição de probabilidades do número de aparelhos vendidos em uma semana. Se é de
o lucro por unidade vendida, qual o lucro esperado em uma semana? Qual é o desvio padrão do lucro?
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um lojista que registra as vendas diárias de um aparelho. A distribuição de probabilidades do número de aparelhos vendidos em uma semana está dada na tabela. O que a gente precisa descobrir é qual é o lucro esperado em uma semana e também o desvio padrão desse lucro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de esperança matemática e desvio padrão de uma variável aleatória.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o lucro esperado. O lucro por cada aparelho vendido é de R$ 500,00. Então, para encontrar o lucro esperado, precisamos calcular a esperança matemática da variável aleatória que representa o número de aparelhos vendidos.
A fórmula para a esperança matemática (E[X]) é:
Onde
é o número de aparelhos vendidos e
é a probabilidade de vender
aparelhos.
Passo 3
Vamos calcular
:
Então, em média, o lojista vende 2,7 aparelhos por semana.
Passo 4
Agora, como cada aparelho traz um lucro de R$ 500,00, o lucro esperado (E[L]) é:
Portanto, o lucro esperado em uma semana é de R$ 1.350,00.
Passo 5
Para encontrar o desvio padrão, primeiro precisamos calcular a variância (Var[X]) da variável aleatória X. A fórmula da variância é:
Onde:
Passo 6
Vamos calcular
:
Passo 7
Agora, calculamos a variância:
Passo 8
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Como o lucro por aparelho é linear em relação ao número de aparelhos vendidos, o desvio padrão do lucro será:
Resposta
O lucro esperado em uma semana é de R$ 1.350,00 e o desvio padrão do lucro é aproximadamente R$ 502,50.