Um lojista mantém extensos registros das vendas diárias de um certo aparelho. O quadro a seguir dá a distribuição de probabilidades do número de aparelhos vendidos em uma semana. Se é de R o lucro por unidade vendida, qual o lucro esperado em uma semana? Qual é o desvio padrão do lucro?
o lucro por unidade vendida, qual o lucro esperado em uma semana? Qual é o desvio padrão do lucro? | = número de aparelhos 0 1 2 3 4 5
= número de aparelhos | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um lojista que registra as vendas diárias de um aparelho. A distribuição de probabilidades do número de aparelhos vendidos em uma semana está dada na tabela. O que a gente precisa descobrir é qual é o lucro esperado em uma semana e também o desvio padrão desse lucro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de esperança matemática e desvio padrão de uma variável aleatória.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o lucro esperado. O lucro por cada aparelho vendido é de R$ 500,00. Então, para encontrar o lucro esperado, precisamos calcular a esperança matemática da variável aleatória que representa o número de aparelhos vendidos.
A fórmula para a esperança matemática (E[X]) é:
E[X] = sumx x cdot P(X = x)
Onde é o número de aparelhos vendidos e é a probabilidade de vender aparelhos.

Passo 3

Vamos calcular E[X] = 0 cdot 0,1 + 1 cdot 0,1 + 2 cdot 0,2 + 3 cdot 0,3 + 4 cdot 0,2 + 5 cdot 0,1 :
E[X] = 0 + 0,1 + 0,4 + 0,9 + 0,8 + 0,5 = 2,7
Então, em média, o lojista vende 2,7 aparelhos por semana.

Passo 4

Agora, como cada aparelho traz um lucro de R$ 500,00, o lucro esperado (E[L]) é:
500,00, o lucro esperado (E[L]) é: [ E[L] = E[X] cdot 500 = 2,7 cdot 500 = 1350 ] Portanto, o lucro esperado em uma semana é de R
Portanto, o lucro esperado em uma semana é de R$ 1.350,00.

Passo 5

Para encontrar o desvio padrão, primeiro precisamos calcular a variância (Var[X]) da variável aleatória X. A fórmula da variância é:
Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2
Onde:
E[X^2] = sumx x^2 cdot P(X = x)

Passo 6

Vamos calcular E[X^2] = 0^2 cdot 0,1 + 1^2 cdot 0,1 + 2^2 cdot 0,2 + 3^2 cdot 0,3 + 4^2 cdot 0,2 + 5^2 cdot 0,1 :
E[X^2] = 0 + 0,1 + 0,8 + 2,7 + 3,2 + 2,5 = 8,3

Passo 7

Agora, calculamos a variância:
Var[X] = 8,3 - (2,7)^2 = 8,3 - 7,29 = 1,01

Passo 8

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Desvio Padrão = raizVar[X] = raiz1,01 approx 1,005 ã
Como o lucro por aparelho é linear em relação ao número de aparelhos vendidos, o desvio padrão do lucro será:
Desvio Padrão do Lucro = 500 cdot 1,005 approx 502,50 ã

Resposta

O lucro esperado em uma semana é de R$ 1.350,00 e o desvio padrão do lucro é aproximadamente R$ 502,50.

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