O peso de recém-nascidos de uma amostra pode ser modelado por uma distribuição Normal, com uma média de 3000 gramas e um desvio-padrão de 100 gramas. Para um recém-nascido escolhido ao acaso na amostra:
(a) Qual a probabilidade do peso ser menor que 3250 g .?
(b) Qual a probabilidade do peso estar entre 2800 g . e 2900 g. ?
© Que peso é excedido por 95 % dos itens amostrais?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que envolve a distribuição Normal, que é tipo um modelo usado para descrever como os pesos dos recém-nascidos estão distribuídos. Aqui, a média (ou seja, o peso médio) é de 3000 gramas e o desvio-padrão (que mostra o quão espalhados os pesos estão) é de 100 gramas. Vamos precisar usar conceitos de distribuição Normal, como o cálculo do z-score, que ajuda a transformar nossos valores para a distribuição padrão normal. Com isso, conseguimos encontrar probabilidades usando tabelas ou calculadoras.

Passo 2

Parte (a): Qual a probabilidade do peso ser menor que 3250 g?

Primeiro, vamos encontrar o z-score para 3250 gramas. O z-score nos diz quantos desvios-padrão o valor está acima ou abaixo da média.
A fórmula do z-score é:
z = X - musigma
Onde:
  • z = 3250 - 3000100 = 250100 = 2.5 é o valor que queremos (3250 g)
  • é a média (3000 g)
  • é o desvio-padrão (100 g)
Calculando:
Agora, queremos saber a probabilidade de ser menor que 2.5 na distribuição normal padrão. Usando uma tabela z ou uma calculadora:
ou 99.38%

Passo 3

Parte (b): Qual a probabilidade do peso estar entre 2800 g e 2900 g?

Vamos calcular os z-scores para 2800 g e 2900 g.
Para 2800 g:
z = 2800 - 3000100 = -200100 = -2
Para 2900 g:
z = 2900 - 3000100 = -100100 = -1
Agora, queremos a probabilidade de P(-2 < Z < -1) = P(Z < -1) - P(Z < -2) = 0.1587 - 0.0228 = 0.1359 estar entre -2 e -1. Usando a tabela z:
Então, a probabilidade de estar entre 2800 g e 2900 g é:
Ou seja, aproximadamente 13.59%

Passo 4

Parte ©: Que peso é excedido por 95% dos itens amostrais?

Aqui, queremos encontrar o valor X = z times sigma + mu = 1.645 times 100 + 3000 = 164.5 + 3000 = 3164.5 g tal que 95% das observações estão abaixo dele, ou seja, . Esse valor é o percentil 95 da distribuição normal.
Primeiro, encontramos o z-score que corresponde a 0.95. Usando a tabela z, vemos que:
para
Agora, usamos a fórmula do z-score para encontrar :

Resposta

(a) A probabilidade do peso ser menor que 3250 g é aproximadamente 99,38%.
(b) A probabilidade do peso estar entre 2800 g e 2900 g é aproximadamente 13,59%.
© O peso excedido por 95% dos itens amostrais é 3164,5 gramas.

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