Uma longa casca cilíndrica de cobre de raio interno 2,0 cm e raio externo 3,0 cm circunda concentricamente uma longa haste de alumínio carregada (raio 1,0 cm ) com uma densidade de carga de 4,0 pC / m^2. Todas as cargas na haste de alumínio residem em sua superfície. A superfície interna da casca de cobre tem carga exatamente oposta à da haste de alumínio, enquanto a superfície externa da camada de cobre tem a mesma carga da haste de alumínio. Determine a magnitude e a direção do campo elétrico em pontos que estão nas seguintes distâncias do centro da haste de alumínio:
(a) 0,5 cm,
(b) 1,0 cm,
© 2,0 cm, (d)
(d) 3,0 cm e (e) 6,0 cm.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos uma haste longa de alumínio com raio de 1,0 cm e uma densidade de carga de . Em volta dela, tem uma casca cilíndrica de cobre que é concentricamente colocada, ou seja, ela está exatamente no mesmo centro da haste. Essa casca tem raio interno de 2,0 cm e raio externo de 3,0 cm. A carga na superfície interna da casca de cobre é exatamente oposta à da haste de alumínio, e a carga na superfície externa da casca é igual à da haste. Para resolver, vamos precisar aplicar a Lei de Gauss, que é ótima para calcular campos elétricos com simetria cilíndrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica PhiE = oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0 :
Como estamos lidando com um cilindro infinito, a simetria nos ajuda a simplificar o cálculo do campo elétrico .

Passo 3

Vamos identificar as regiões onde precisamos calcular o campo elétrico:
a) – dentro da haste de alumínio
b) – na superfície da haste de alumínio
c) – na superfície interna da casca de cobre
d) – na superfície externa da casca de cobre
e) – fora da casca de cobre

Passo 4

Vamos calcular a carga total na haste de alumínio. A densidade de carga superficial é A = 2pi r L . A área da superfície da haste (para um cilindro infinito, consideramos por metro de comprimento):
A = 2pi times 0,01 times 1 = 0,02pi , m^2
Onde Q = sigma A = 4,0 times 10^-12 times 0,02pi = 8,0 times 10^-14pi , C/m e :
Então, a carga total é:

Passo 5

Agora, vamos analisar cada ponto:
a) Para E = 0 , N/C : Este ponto está dentro da haste de alumínio. Como toda a carga está na superfície, pelo princípio de Gauss, o campo elétrico dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático é zero.
A direção é nula, pois o campo é zero.

Passo 6

b) Para E = sigmavarepsilon0 : Este é o ponto na superfície da haste de alumínio. Aqui, a carga está concentrada na superfície, então o campo elétrico na superfície é dado por:
E = 4,0 times 10^-128,85 times 10^-12 approx 0,452 , N/C
Substituindo e :
A direção do campo é para fora da haste, já que a carga é positiva.

Passo 7

c) Para E = 0 , N/C : Este ponto está na superfície interna da casca de cobre. A carga na superfície interna da casca é igual e oposta à da haste de alumínio, ou seja, . Usando a Lei de Gauss, o campo elétrico dentro do condutor de cobre é zero, pois as cargas na superfície interna cancelam o campo da haste.
Sem direção, pois o campo é nulo.

Passo 8

d) Para E = sigmavarepsilon0 = 4,0 times 10^-128,85 times 10^-12 approx 0,452 , N/C : Este ponto está na superfície externa da casca de cobre. A carga na superfície externa é igual à da haste de alumínio, . Aplicando a Lei de Gauss novamente, o campo elétrico é:
A direção é para fora da casca, já que a carga é positiva.

Passo 9

e) Para E = 0 , N/C : Este ponto está fora da casca de cobre. A carga total dentro de uma superfície gaussiana é a soma da carga da haste de alumínio e da casca de cobre. Como a casca interna tem carga e a externa tem , a carga total dentro é . Portanto, o campo elétrico fora da casca é zero.
Sem direção, pois o campo é nulo.

Resposta

a) (Nenhum campo elétrico)
b) direcionado para fora
c) (Nenhum campo elétrico)
d) direcionado para fora
e) (Nenhum campo elétrico)

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