Uma longa casca cilíndrica de cobre de raio interno
e raio externo
circunda concentricamente uma longa haste de alumínio carregada (raio
) com uma densidade de carga de
. Todas as cargas na haste de alumínio residem em sua superfície. A superfície interna da casca de cobre tem carga exatamente oposta à da haste de alumínio, enquanto a superfície externa da camada de cobre tem a mesma carga da haste de alumínio. Determine a magnitude e a direção do campo elétrico em pontos que estão nas seguintes distâncias do centro da haste de alumínio:
(a)
,
(b) 1,0 cm,
©
, (d)
(d)
(e)
.
(a)
(b) 1,0 cm,
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos uma haste longa de alumínio com raio de 1,0 cm e uma densidade de carga de
. Em volta dela, tem uma casca cilíndrica de cobre que é concentricamente colocada, ou seja, ela está exatamente no mesmo centro da haste. Essa casca tem raio interno de 2,0 cm e raio externo de 3,0 cm. A carga na superfície interna da casca de cobre é exatamente oposta à da haste de alumínio, e a carga na superfície externa da casca é igual à da haste. Para resolver, vamos precisar aplicar a Lei de Gauss, que é ótima para calcular campos elétricos com simetria cilíndrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica
:
Como estamos lidando com um cilindro infinito, a simetria nos ajuda a simplificar o cálculo do campo elétrico
.
Passo 3
Vamos identificar as regiões onde precisamos calcular o campo elétrico:
a)
– dentro da haste de alumínio
b)
– na superfície da haste de alumínio
c)
– na superfície interna da casca de cobre
d)
– na superfície externa da casca de cobre
e)
– fora da casca de cobre
Passo 4
Vamos calcular a carga total na haste de alumínio. A densidade de carga superficial é
. A área da superfície da haste (para um cilindro infinito, consideramos por metro de comprimento):
Onde
e
:
Então, a carga total
é:
Passo 5
Agora, vamos analisar cada ponto:
a) Para
: Este ponto está dentro da haste de alumínio. Como toda a carga está na superfície, pelo princípio de Gauss, o campo elétrico dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático é zero.
A direção é nula, pois o campo é zero.
Passo 6
b) Para
: Este é o ponto na superfície da haste de alumínio. Aqui, a carga está concentrada na superfície, então o campo elétrico na superfície é dado por:
Substituindo
e
:
A direção do campo é para fora da haste, já que a carga é positiva.
Passo 7
c) Para
: Este ponto está na superfície interna da casca de cobre. A carga na superfície interna da casca é igual e oposta à da haste de alumínio, ou seja,
. Usando a Lei de Gauss, o campo elétrico dentro do condutor de cobre é zero, pois as cargas na superfície interna cancelam o campo da haste.
Sem direção, pois o campo é nulo.
Passo 8
d) Para
: Este ponto está na superfície externa da casca de cobre. A carga na superfície externa é igual à da haste de alumínio,
. Aplicando a Lei de Gauss novamente, o campo elétrico é:
A direção é para fora da casca, já que a carga é positiva.
Passo 9
e) Para
: Este ponto está fora da casca de cobre. A carga total dentro de uma superfície gaussiana é a soma da carga da haste de alumínio e da casca de cobre. Como a casca interna tem carga
e a externa tem
, a carga total dentro é
. Portanto, o campo elétrico fora da casca é zero.
Sem direção, pois o campo é nulo.
Resposta
a)
(Nenhum campo elétrico)
b)
direcionado para fora
c)
(Nenhum campo elétrico)
d)
direcionado para fora
e)
(Nenhum campo elétrico)
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e
?
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